排序算法——堆排序

前一阵子一直在写排序的系列文章，最近因为一些事情耽搁了几天，也穿插了几篇其他类别的随笔。今天还是回到排序上面来，善始善终，呵呵。
今天要介绍的也是一种效率很高的排序——堆排序
思想
堆排序，顾名思义，就是基于堆。因此先来介绍一下堆的概念。
堆分为最大堆和最小堆，其实就是完全二叉树。最大堆要求节点的元素都要大于其孩子，最小堆要求节点元素都小于其左右孩子，两者对左右孩子的大小关系不做任何要求，其实很好理解。有了上面的定义，我们可以得知，处于最大堆的根节点的元素一定是这个堆中的最大值。其实我们的堆排序算法就是抓住了堆的这一特点，每次都取堆顶的元素，将其放在序列最后面，然后将剩余的元素重新调整为最大堆，依次类推，最终得到排序的序列。
或者说，堆排序将所有的待排序数据分为两部分，无序区和有序区。无序区也就是前面的最大堆数据，有序区是每次将堆顶元素放到最后排列而成的序列。每一次堆排序过程都是有序区元素个数增加，无序区元素个数减少的过程。当无序区元素个数为1时，堆排序就完成了。
本质上讲，堆排序是一种选择排序，每次都选择堆中最大的元素进行排序。只不过堆排序选择元素的方法更为先进，时间复杂度更低，效率更高。
图例说明一下：（图片来自http://www.cnblogs.com/zabery/archive/2011/07/26/2117103.html）

具体步骤如下：

　　1 首先从第一个非叶子节点开始，比较当前节点和其孩子节点，将最大的元素放在当前节点，交换当前节点和最大节点元素。

　　2 将当前元素前面所有的元素都进行1的过程，这样就生成了最大堆

　　3 将堆顶元素和最后一个元素交换，列表长度减1。由此无序区减1，有序区加1

　　4 剩余元素重新调整建堆

　　5 继续3和4，直到所有元素都完成排序

代码

int adjust_heap(vector<int> &v, int length, int i){
        int left = 2 * i;
        int right = 2 * i + 1;
        int largest = i;
        int temp;

        while(left < length || right < length){
                if (left < length && v[largest] < v[left]){
                        largest = left;
                }
                if (right < length && v[largest] < v[right]){
                        largest = right;
                }

                if (i != largest){
                        temp = v[largest];
                        v[largest] = v[i];
                        v[i] = temp;
                        i = largest;
                        left = 2 * i;
                        right = 2 * i + 1;
                }
                else{
                        break;
                }
        }
}

int build_heap(vector<int> &v, int length){
        int i;
        int begin = length/2 - 1; //get the last parent node
        for (i = begin; i>=0; i--){
                adjust_heap(v,length,i);
        }
}

int heap_sort(vector<int> &v){
        int length = v.size();
        int temp;
        printline("before sort:",v);
        build_heap(v,length);
        while(length > 1){
                temp = v[length-1];
                v[length-1] = v[0];
                v[0] = temp;
                length--;
                adjust_heap(v,length,0);
        }
        printline("after sort:",v);
}

分析
堆排序的平均时间复杂度为O(nlogn),接近于最坏的时间复杂度。在最好情况下，时间复杂度为O(1).