傅里叶变换回顾与总结
傅里叶变换回顾与总结
对傅里叶变换进行回顾总结,遗忘,要用的时候回顾此浓缩版即可。内容来源于不同出处,函数名称、符号使用不是十分统一,一维二维表达同时存在,略表歉意。
1,两个前提
线性性
两个信号加权和输出为它们分别输出和的加权,权值为标量。
时不变性
2,两个信号
复指数信号及其性质
欧拉公式
冲激函数及其性质
3,运行线性性,将原信号表示为冲激函数的加权和(积分)
4,冲激响应函数(脉冲响应函数,点扩散函数):系统对冲激函数的输出
h(t)=O[δ(t)]
运用时不变特性
h(t-τ)=O[δ(t-τ)]
5,卷积的由来
再次运用叠加原理,由于信号x(t)为冲击信号的加权和,那么系统对x(t)的输出g(t)则为系统对这些冲击信号输出的加权和。注意x(τ)是函数值,相当于权重。
表示为g(t)=x(t)*h(t)
卷积的傅里叶变换,傅里叶变换的一些性质
等等
傅里叶变换的本质
变换是去分解,由于线性性,因此可以把原函数表示成一组正交基函数的加权和。正交性是任意两个不同基函数乘积后的积分为0,相同则为1。傅里叶变换的基函数是复指数信号,两个不同频率的复指数信号乘积积分和为0. 而同频率复指数信号积分和为1.
傅里叶变换:求取不同频率复指数信号的权重
为什么傅里叶变换要这么计算?
信号=不同频率的复指数信号加权和。
将信号乘积某一个频率的复指数信号然后积分,这样,同频率复指数信号与它相乘积分后留下权重,而不通过频率复指数信号与它相乘积分后只剩下0。最终得到了该频率复指数信号的权重。
傅里叶反变换:将原信号表示为权重乘以不同频率复指数信号的叠加(积分)。
知道这个本质,有些信号直接看原函数就能知道傅里叶变换是什么样,例如正弦余弦函数,经过欧拉公式,它们已经是两个复指数信号的加权和了。
参考资料
1,信号与系统,奥本海默,第二版
2,2-D Fourier Transforms, Yao Wang, Polytechnic University Brooklyn NY 11201 , Brooklyn, NY 11201
3,Diffraction, Fourier Optics and Imaging, OKAN K. ERSOY
LuchangLi
HUST
20170818