P1447 [NOI2010]能量采集
题目描述
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。
由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。
能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能 量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
在这个例子中,总共产生了36的能量损失。
输入输出格式
输入格式:
仅包含一行,为两个整数n和m。
输出格式:
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。
输入输出样例
说明
对于10%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10;
对于50%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100;
对于80%的数据:1 ≤ n, m ≤ 1000;
对于90%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10,000;
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
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#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int gcd(int x,int y) { return !y?x:gcd(y,x%y); } int n, m, ans; int main() { scanf("%d %d",&n, &m); for(int i = 1; i <= n; ++ i) { for(int j = 1; j <=m; ++ j) { ans += 2 * gcd(i, j) - 1; } } printf("%d", ans); return 0; }
//Pro:P1447 [NOI2010]能量采集 //首先要思考的问题就是(x,y)与(0,0)之间有多少个点? //显然(x,y)在(t*x,t*y)的前面 //所以(x,y)前面一定也会有(t*X,t*Y) //如果gcd(X,Y)=1,那么t=gcd(x,y) //所以(x,y)前面一共gcd(x,y)个点(包括(x,y)) //那么就可以得到一个暴力算法: //for(int i = 1; i <= n; ++ i) // { // for(int j = 1; j <=m; ++ j) // { // ans += 2 * gcd(i, j) - 1; // } // } //这样80分T两个点 //所以现在我们要改进这个做法 //一个点一个点地去枚举是O(n*m)的,这显然不太明智 //那么我们考虑去枚举(x,y)的gcd g //可以知道n里有n/g个数的因子里有g,m里有m/g个 //这些数随机组合成坐标,一共有(n/g)*(m/g)种 //但是这是以g为公因子的,不是以g为最大公因子的 //所以我们要把那些以g的倍数为最大公因子的筛掉(容斥) //开一个数组f[i]记录以i为gcd的坐标的个数 //那么f[i]=(n/g)*(m/g)-f[i的倍数] //然后让ans+=f[i]*(i*2-1) #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e5+5; int n,m; long long f[N],ans; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); if(n>m) swap(n,m); for(int i=n;i;--i) { f[i]=(1ll*n/i)*(m/i); for(int j=2;j*i<=n;++j) f[i]-=f[i*j]; ans+=f[i]*1ll*(i*2-1); } printf("%lld",ans); return 0; }