清华机试 ：整数拆分 题目1084

题目描述：

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
总共有六种不同的拆分方式。
再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。
用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6.
要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入：

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出：

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

样例输入：

7

样例输出：

6

一、母函数 解决

起初，一看到整数拆分，先想到的就是母函数。（思维定式害死人啊，题中 n(不超过1000000) 已经提示有大数据了，3个for循环很费时）

结果是超时！

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX 1000001
int sum[MAX];
int temp[MAX];
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n) != EOF){

        for(int i=0; i<=n; i++){
            sum[i] = 1;
            temp[i] = 0;
        }
        for(int i=2; i<=n; i=i<<1){
            for(int j=0; j<=n; j++){
                for(int k=0; k+j<=n; k+=i)
                    temp[k+j] += sum[j];
            }
            memcpy(sum,temp,sizeof(int)*(n+1));
            memset(temp,0,sizeof(int)*(n+1));
        }
        printf("%d\n",sum[n]);
    }
    return 0;
}

二、找规律，用递归解决

再网上又搜了一个递归的方法，还好没有超时。

对于奇数n=2k+1：它的拆分的第一项一定是1，考虑去掉这个1，其实就一一对应于
2k的拆分，因此f(2k+1)=f(2k).

对于偶数n=2k：考虑有1和没有1的拆分。有1的拆分，与(2k-1)的拆分一一对应，与上面奇数的情况
理由相同；没有1的拆分，将每项除以2，正好一一对应于k的所有拆分。因此f(2k)=f(2k-1)+f(k).

需要注意f(n)会很大，不要溢出了。最终结果只要求除以十亿的余数，在int的表示范围内，
因此不需要大数运算。注意余数的性质：(a+b)%m == (a%m+b%m)%m，所以只要对每个中间
结果也都取余数，就不会有溢出的问题，且不改变最终输出结果。

#include <stdio.h>
int f[1000001];
int main ()
{
    int i, n;
    while(scanf("%d",&n) != EOF){
         f[0] = f[1] = 1;
            for (i=2; i<=n; ++i) {
                if (i % 2)
                    f [i] = f[i-1];
                else
                    f [i] = (f[i-1] + f[i/2]) % 1000000000;
            }
            printf ("%d\n", f[n]);
    }
    return 0;
}