「学习笔记」左偏树

左偏树是一种可以合并的“堆”。这里打了引号，是因为左偏树并不是堆，但是能完成与堆类似的功能。而且还能支持可持久化。

在可合并对中，左偏树是最常用的。虽然它的效率不及斐波那契堆与配对堆，但是复杂度是同一个级别，单次操作最坏情况下都是\(O(log_2n)\)的。而且不像斐波那契堆，码量大，难理解，在竞赛中用太不合算了，配对堆不资瓷可持久化。。。。。

放张表格，看看你打算学哪种？这里（目前）只教左偏树。其他的除了二叉堆博主都不会

指标	二叉堆	左偏树/斜堆	二项堆	斐波那契堆	配对堆
建堆	\(O(n)\)	\(O(n)\)	\(O(n)\)	\(O(n)\)	\(O(n)\)
插入节点	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(1)\)	\(O(1)\)
取最值节点	\(O(1)\)	\(O(1)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(1)\)	\(O(1)\)
删除最值节点	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)
删除任意已知节点	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)
合并	\(O(nlog_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(log_2n)\)	\(O(1)\)	\(O(1)\)
空间	\(--\)	\(-\)	\(+\)	\(++\)	\(-\)
代码复杂度	\(--\)	\(-\)	\(++\)	\(+++\)	\(-\)

• 已知：表示知道编号，而不是值。
• \(--\)表示很小，\(-\)表示较小，\(+\)表示一般，\(++\)表示较大，\(+++\)表示很大。

左偏树的基本结构与堆有许多相似之处。它是一棵二叉树，对于一个节点\(x\)，设其左儿子为\(ls\)，右儿子为\(rs\)，值为\(v_x\)总是满足\(v_x \le v_{ls},v_x\le v_{rs}\)（如果存在左右儿子）。

再次明确一遍，左偏树不是堆，它不一定是完全二叉树。“左偏”的意义就在于保证时间复杂度（否则一条链就能把复杂度卡到\(O(n^2)\)）。来看看何为“左偏”。

先讲一讲外节点。如果一个节点没有左儿子或没有右儿子（或者都没有），那么这个节点被称为外节点。我们设\(dis_{x}\)表示\(x\)与最近的外节点之间的距离。（一条边的长度为1）。特别地，空节点0的\(dis\)为\(-1\)。（这样就可以自然地完成外节点的\(dis\)为0）

左偏即为对于任意节点\(x\)，满足\(dis_{ls}\ge dis_{rs}\)。（这样就可以得到\(dis_x=dis_{rs}+1\)）

为什么这样就可以保证复杂度呢？

很明显，一般地，节点总是集中于左子树，我们就可以把操作集中于右子树来减少操作。

来看看更严谨的证明。

• 引理：最大dis为k的左偏树节点个数至少为\(2^{k+1}-1\)（满二叉树）。

我们运用反证法。我们将深度大于k的节点去除，得到树T，如果树T不是满二叉树，则树T中必定有一个外节点\(x\)深度小于k，与根节点dis为k矛盾，原命题成立。

• 定理： 由对于一个有\(n\)个节点的左偏树，最大距离不超过 \(\log_2(n+1)-1\)
  证明： 设 \(max\{dist\}=k\) ，由引理得\(n\geq 2^{k+1}-1\) ，移项得： \(k\leq \log_2(n+1)-1\) 。

这就保证了\(O(log_2n)\)的复杂度。

如何实现

合并

合并操作与FHQ Treap十分类似，如果你会FHQ Treap，这将很好理解。

int Merge( int x, int y ){
	if ( !x || !y ){ return x | y; }//如果有一个堆为0，直接返回这个堆
	if ( val[x] > val[y] || ( val[x] == val[y] && x > y  ) ) swap( x, y );//使x的值小于y(将x做为根节点)
	R[x] = Merge( R[x], y ); fa[R[x]] = x;//R[x]可能已被更改，更新R[x]的父亲
	if ( dis[L[x]] < dis[R[x]] ) swap( L[x], R[x] );//维持左偏性质
	dis[x] = dis[R[x]] + 1;//更新dis
	return x; 
}

val[x]记录该节点保存的值，L[x]表示\(x\)的左儿子（没有的话就为0），R[x]表示\(x\)的右儿子（没有的话就为0）。fa[x]记录该节点的父亲。

Merge的作用就是将两个堆（已知根节点）合并成一个并返回其根节点。由于要保持堆的性质，根节点的值肯定要是最小的。要合并的两个堆中，值最小的肯定是\(x\)与\(y\)，如果\(y\)的值比\(x\)小，那\(x\)肯定不能作为根节点，所以这时候\(x\)不能作为根节点，只能把\(y\)作为根节点了。为了方便处理，我们直接交换x与y（注意：不是val，交换的是两个堆的位置）。这样\(x\)就肯定为根节点了。我们不改变\(x\)的左子树（因为是左偏的嘛，左子树太费时），将原来\(x\)的右子树与\(y\)合并作为\(x\)的右子树。注意要更新\(dis\)与\(fa\)的值。

还有一个前面提到过的小细节：dis[0]在主程序中必须赋为-1

---

删除

删除根节点操作就更简单了，直接合并左右儿子即可。

#define Del(x) val[x] = -1, fa[L[x]] = fa[R[x]] = 0, Merge( L[x], R[x] )
//注意先把父亲赋为0

---

会了这两个操作，就可以完成左偏树模板啦。。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005

int N, M;
int L[MAXN], R[MAXN];
int fa[MAXN], val[MAXN], dis[MAXN];

int Merge( int x, int y ){
	if ( !x || !y ){ return x | y; }
	if ( val[x] > val[y] || ( val[x] == val[y] && x > y  ) ) swap( x, y );
	R[x] = Merge( R[x], y ); fa[R[x]] = x;
	if ( dis[L[x]] < dis[R[x]] ) swap( L[x], R[x] );
	dis[x] = dis[R[x]] + 1;
	return x; 
}

#define Del(x) val[x] = -1, fa[L[x]] = fa[R[x]] = 0, Merge( L[x], R[x] )
int find( int x ){
	while( fa[x] ) x = fa[x];
	return x;
}//fa表示直接父亲！这不是并查集！不要想着去路径压缩！

int main(){
	scanf( "%d%d", &N, &M );
	for ( int i = 1; i <= N; ++i ) scanf( "%d", &val[i] );
	dis[0] = -1;//重要！
	for ( int i = 1; i <= M; ++i ){
		int opt, x, y;
		scanf( "%d", &opt );
		if ( opt == 1 ){
			scanf( "%d%d", &x, &y );
			if ( val[x] == -1 || val[y] == -1 ) continue;//有一个点被删除就不要操作了
			x = find(x); y = find(y);//记得先找到根节点再合并
			if ( x != y ) Merge( x, y );
		}
		else{
			scanf( "%d", &x );
			if ( val[x] == -1 ) printf( "-1\n" );//用val=-1标记已被删除的节点（输入全是正整数，如果有负数可以用INT_MIN，反正视数据范围而定）
			else printf( "%d\n", val[x = find(x)] ), Del(x);
		}
	}
	return 0;
}

当然，操作远远不止这些~慢慢更

---

修改

洛谷P1456 Monkey King

这题要修改值。。。其实暴力一点，直接删去，再合并就OK。。。

具体一点：

1. 删去两个左偏树的根节点（用x、y保存编号，t1、t2保存删去x、y后的左偏树根节点编号）（删除方法同上）
2. val[x]与val[y]减半
3. 初始化x、y（L[x]=R[x]=fa[x]=0，y也一样）
4. 合并x、y、t1、t2
5. 返回val[根节点]

不难理解吧？注意一个小优化，先合并x、y。因为x、y都只剩一个根节点，合并复杂度是\(O(1)\)的。这只是优化常数，不优化也能过。

核心代码：

int fight( int x, int y ){
	x = find(x); y = find(y);
	if ( x == y ) return -1;
	fa[L[x]] = fa[R[x]] = fa[L[y]] = fa[R[y]] = 0;
	int t1, t2;
	t1 = Merge( L[x], R[x] ); t2 = Merge( L[y], R[y] ); 
	val[x] >>= 1; val[y] >>= 1;
	L[x] = R[x] = L[y] = R[y] = dis[x] = dis[y] = 0;
	x = Merge( x, y ); x = Merge( x, t1 ); x = Merge( x, t2 );
	return val[x];
}

还有一个猥琐的坑点：多组数据！记得初始化。

---

更新中。。。。