正则表达式之基本原理
正则文法介绍
要了解正则表达式的原理，需要先了解一些计算机语言文法的基础知识。
一个文法可以用一个四元来定义，G = {Vt，Vn，S，P}
其中Vt是一个非空有限的符号集合，它的每个元素成为终结符号。Vn也是一个非空有限的符号集合，它的每个元素称为非终结符号，并且Vt∩Vn=Φ。S∈Vn，称为文法G的开始符号。P是一个非空有限集合，它的元素称为产生式。所谓产生式，其形式为α→β，α称为产生式的左部，β称为产生式的右部，符号“→”表示“定义为”，并且α、β∈(Vt∪Vn)*，α≠ε，即α、β是由终结符和非终结符组成的符号串。开始符S必须至少在某一产生式的左部出现一次。
文法可推导的语言标记为L(G)。
著名语言学家Chomsky(乔姆斯基)根据对产生式所施加的限制的不同，把文法分成四种类型，即0型、1型、2型和3型。
- 0型文法要求至少含有一个非终结符，基本没有什么限制，一个非常重要的理论结果是：0型文法的能力相当于图灵机
- 1型文法也叫上下文有关文法，对应于线性有界自动机，要求每个产生式α→β，都有|β|>=|α|，|β|指长度；
- 2型文法也叫上下文无关文法，对应于下推自动机，要求在1型文法的基础上，再满足：每一个α→β都有α是非终结符;
- 3型文法也叫正则文法，它对应于有限状态自动机。它是在2型文法的基础上满足：A→α|αB（右线性）或A→α|Bα（左线性)。
正则表达式就是最后一种，正则文法，的一种表达形式，以整个字母表作为终结符集合Vt。
假设有一个文法的产生式是{S->Sa; S->b;}，那么对应的正则表达式为ba*。
因此正则表达式，正则文法，有限状态自动机这个三个概念虽然指不同的东西，但是具备内在的等价性。
正则表达式是正则文法，限制多于上下文无关文法，而我们使用的编程语言语法都是上下文无关文法，因此试图通过正则表达式去处理代码(比如语言翻译、代码生成)的努力极可能归于徒劳。不过，把代码当做纯文本，然后在处理过程中使用正则表达式，仍然能大大提高效率。
正则表达式的基础运算符
正则表达式包含很多的元字符来表达规则，不过本文不是要介绍如何使用正则表达式，关于正则表达式规则最好的参考书是《精通正则表达式》。
实际上，正则表达式核心的运算符只有以下几种：
| 名称 | 示例 | 备注 |
|---|---|---|
| 或运算 | r|s | 匹配的语言是L(r)和L(s)的并集 |
| 连接运算 | rs | 匹配的语言是L(r)和L(s)连接 |
| Kleene运算 | r* | 匹配的语言是L(r)和L(s)连接 |
| 括号 | (r) | 匹配的语言与L(r)一致 |
kleene运算符优先级最高，且是左结合的，连接第二，或运算优先级最低。
运算定律:
| 示例 | 备注 |
|---|---|
| r|s = s|r | | 运算满足交换律 |
| r|s|t = r|(s|t) | | 满足结合律 |
| r(st) | 连接可以结合 |
| r(s|t) = rs|rt | 连接对|可以分配 |
| ℇr = rℇ = r | ℇ是连接的单位元 |
| r* = (r|ℇ)\* | 闭包中一定包含ℇ |
| r** = r* | *具有幂等性 |
扩展运算符使得正则表达式更具表达力，下面仅举几个例子：
| 扩展运算符 | 等价形式 |
|---|---|
| + | r+ = rr* = r*r |
| ？ | r? = r | ℇ |
| 字符类 | [a1a2…an] = a1|a2|…|an；如果是连续的字符类，可以写成[a1-an] |
高级特性：
正则表达式具备很多高级特性，比如捕获、环视、固化分组等等，这些特性是为了提高正则表达式的实用价值被设计出来的，不属于正则文法的范畴。
NFA和DFA
前面说过，正则文法对应于有限状态自动机，又分确定型有限状态自动机(DFA)和非确定型有限状态自动机(NFA)，这两种状态机的能力是一样的，都能识别正则语言。正则表达式的识别引擎，都是基于DFA或NFA构造的。关于状态机的基础理论，这里就不描述了，只要稍微有点印象，就不妨碍继续阅读。
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NFA
一个字母可以标记离开状态的多条边，并且ℇ 也可以标记一条边；这说明NFA的匹配过程面临很多的岔路，需要做出选择，一旦某条岔路失败，就需要回朔。
下图是正则表达式(a|b)*abb对应的NFA，它相当直观，基本可以从正则表达式直接转换而来。
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DFA
对于每个状态以及字母表中的每个字母，只能有一条以该字母为标记的，离开该状态的边；这说明DFA的匹配过程是确定的，每个字母是需要匹配一次。
与上面NFA等价的DFA如下图，相当地不直观：
- 将NFA转化成DFA
由于NFA和DFA的能力是一样的，每个NFA必然可以转化成一个等价的DFA。既然DFA对每个输入可以到达的状态时是确定的，那么输入串s在NFA中可能达到的状态集合对应为等价DFA中某个状态。从这个思路出发，可以构造出DFA。
- 首先NFA的初始状态0不接受ℇ ，因此可以构造出DFA的初始状态(0)；
- 集合(0)输入a，在NFA中能够到达(0，1)，于是构造出此状态，以及从(0)到(0，1)的边，标记为a
- 集合(0)输入b，能到到达的还是(0)，因此构造出从(0)到自身的一条标记为b的边
- 集合(0，1)输入a，能能够到达的还是(0，1)，与上一步类似
- 集合(0，1)输入b，能够给到达的是(0，2)，构造状态(0，2)及相应的边
- 集合(0，2)输入a， 能够到达(0，1)，没有新状态，添加一条边
- 集合(0，2)输入b，能够给达到(0，3)，构造新状态(0，3)
- 集合(0，3)输入a，能够到达(0，1)，添加一条边即可
- 集合(0，3)输入b，能够给达到(0)，添加一条边即可
- 没有新状态，结束
最终得到的DFA如下，(0，3)包含了NFA的终结状态3，因此也是DFA的中介状态，对状态重新命名可以得到上面同样的DFA。
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DFA和NFA的效率差异
很容易理解，构造DFA的代价远大于NFA，假设NFA的状态数为K，那么等价DFA的状态数目理论上可达2的k次方，不过实际上几乎不会出现这么极端的情况，可以肯定的是构造DFA会消耗更多的时间和内存。
但是DFA一旦构造好了之后，执行效率就非常理想了，如果一个串的长度是n，那么匹配算法的执行复杂度是O(n);而NFA在匹配过程中，存在大量的分支和回朔，假设NFA的状态数为s，因为每输入一个字符可能达到的状态数做多为s，那么匹配算法的复杂度及时输入串的长度乘以状态数O(ns)。
正则表达式的NFA&DFA构造、转化、简化有一整套理论及方法，远比上面的例子复杂，本文仅通过一个简单的例子来说明原理。
NFA与DFA的能力差异
NFA和DFA这两种匹配算法，除了效率上的差别外，从更高的视点看，形成了两种风格的引擎，进而对正则表达式的匹配的其他方面能力造成差异。NFA被称之为"表达式主导"引擎，而DFA被称之为“文本主导”引擎。
NFA：表达式主导
从表达式的第一个部分开始，每次检查一部分，同时检查当前文本是否匹配表达式的当前部分，如果是，则继续表达式的下一部分，如此继续，直到表达式的所有部分都能匹配，即整个表达式匹配成功。
我们来看表达式to(nite|knight|night)匹配文本...tonight...的过程: 表达式的第一个部分是t，它会不断重复扫描，直到在字符串中找到t，之后就检查随后的o，如果能匹配就继续检查下面的元素。这个例子中，下面的元素是(nite|knight|night)，意思是nite或者knight或者night，引擎会依次尝试这三种可能。
整个过程，控制权在表达式的元素之间转换，因此被称之为“表达式主导”。“表达式主导”的特点是每个子表达式都是独立的，不存在内在联系。 子表达式与整个正则表达式的控制结构(多选、量词)的层级关系控制了整个匹配过程。
DFA：文本主导
DFA在读入一个文本的时候，会记录当前有效的所有匹配的表达式位置(这些位置集合对应于DFA的一个状态)。
以上面的匹配过程为例：
- 当引擎读入文本t时，记录匹配的位置是to(nite|knight|night)；
- 接着读入o，匹配位置to(nite|knight|night)；
- 读入n，匹配位置to(nite|knight|night)，两个位置，knight被淘汰出局；
- ...
这种方式被称之“文本主导”是因为被扫描的字符串，控制了引擎的执行过程。
差异之一：NFA表达式影响引擎
NFA表达式主导的特性，使得通过修改正则表达式来影响引擎，因此下面三个表达式尽管能够匹配同样的文本，但是引擎的执行过程各不相同：
- to(nite|knight|night)
- tonite|toknight|tonight
- to(k?night|nite)
但是对于DFA来说，没有任何区别。
差异之二：DFA能保证最长匹配
对于包含或选项的表达式，NFA在成功匹配一个选项之后可能报告匹配成功，此时并不知道后面的选项是否也会成功，是否包含一个更长的匹配。
假设使用one(self)?(selfsufficient)?来匹配oneselfsufficient，NFA首先匹配one，然后匹配self，此时发现selfsufficient无法匹配剩余子串，但是这个子表达式不是必须的，因此可以立即返回成功，此时匹配的串为oneself。
实际上NFA引擎的匹配结果与具体实现有关，而DFA必然会成功匹配oneselfsufficient。
差异之三：NFA支持更多功能
NFA能够支持“捕获group”，“环视”，“占有优先量词”，“固话分组”等高级功能，这些功能都基于“子表达式独立进行匹配”这一特点。 而DFA无法记录匹配历史与子表达式之间的关系，因而也无法实现这些功能。
可见NFA引擎具备更大的实用价值，因而，我们在编程语言里面使用的正则表达式库都是基于NFA的。java的Pattern就是基于NFA的，Pattern.compile()方法显然就是在构造NFA状态图。
参考资料
- 《精通正则表达式》
- 《编译原理龙书第二版》
