初学 快速幂 的理解
博客停了差不多三个月， 虽然这一段时间在学算法， 但从来没有写博客。 今天看了一上午的快速幂，突然想写写博客， 增加一下自己的记忆！这个博文知识简单介绍一下算法中取余的原因
1 至于快速幂的概念不详细记录了。当我们想求a的b次幂对c取余时，我们会直接想到用这个算法：
int ans = 1;
for( i = 1; i <= b; i++)
{
ans = ans * a;
}
ans %= c;
这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。因此需要用到离散数学知识（该知识点我也没学过，度娘教的^_^）
定理1：
2 由上面的公式可以推出：
把a看成 a * 1, 故由定理1可得出上面的公式。由此得到改进版本：
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = (ans * a) % c；//这里再取了一次余
}
ans = ans % c；
这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。
3 快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了，很简单理解。
4 由此得到改进版本：
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;
5 我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，
状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)^b/2 mod c而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。
((迭代就是把这一次算的值作为下一次循环的初始值，所以可以更简化该算法））
当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过 ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，
此时剩余的部分就可以进行迭代了。 形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。
于是，有了最终的算法：快速幂算法。
((说实话， 我对这个简化有点糊涂，关于在O（log b）的时间内就可以完成， 就假装懂了吧， 以后慢慢理解吧))
6
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 == 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
7 将上述的代码结构化，也就是写成函数：
int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
return ans;
}
这就是最后的优化代码了。以上内容是抄袭的， 只不过自己又写了一遍。如果看不懂我写的的可以点下面网址：
有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。我就不介绍了。
