算法笔记_002:最近点对问题
问题描述：
给定某空间中（直线空间或平面空间）n个点，请找出它们中的最近点对。你需要完成下列任务：
1、随机产生或手工输入n个点的坐标。
2、输出最近的两个点的坐标。
3、算法尽可能效率高。
解决方案：
针对问题，主要包括两个方面的问题，一是在直线空间求最近点对，二是在平面空间求最近点对。具体解决办法如下：
（1）直线空间求最近点对问题
求最近点对如果直接用蛮力法，即有n个点，从第一个点开始依次算出两点直接的距离，进行大小比较，求出最小值，其时间效率为O（n^2）。那有没有效率更高一点的办法呢？结果当然是有的，那就是采用迭代法（时间效率为O(n*logn)，先找出一组点中的中间点，使得在中间点左边的x坐标小于中间点x坐标，中间点右边的x坐标大于中间点x坐标,分成左右两组，用第一组左边组X最大值与右边组X最小值相减即得当前最短距离，在依次迭代，最后递归合并求出最终最短距离。
分治法方案具体代码如下：
package com.liuzhen.ex_two; public class ClosestPionts { //初始化一个随机数组 public static int[] initializationArray(int n){ int[] result = new int[n]; for(int i = 0;i < n;i++) result[i] = (int)(Math.random()*1000); //采用随机函数随机生成1~1000之间的数 return result; } //返回数组中最大值 public static int getArrayMax(int a[] , int first , int end){ int max = a[first]; for(int i = first;i < end;i++){ if(max < a[i]) max = a[i]; } return max; } //返回数组中最小值 public static int getArrayMin(int a[] , int first , int end){ int min = a[first]; for(int i = first;i < end;i++){ if(min > a[i]) min = a[i]; } return min; } //交换数组a[n]中两个数的值 public static void swapArray(int a[] , int i , int j){ int temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; } //采用分治法将数组a[n]分成两组,满足a[n1]<m,a[n2]>m(其中n1+n2 = n) public static int divideArray(int a[],int first,int end){ int max = getArrayMax(a,first,end); int min = getArrayMin(a,first,end); double m = (max + min)/2.0; //System.out.println("分治法算出中位数m:"+m); int i = first , j = end-1; //int a1 = 0; for( ;i+1 <= j;){ while(a[i] < m && i+1 <= j) i++; while(a[j] > m && i+1 <= j) j--; // a1++; // System.out.println("第"+a1+"此交换时a[i] = "+a[i]+" i = "+i+" a[j] = "+a[j]+" j = "+j); swapArray(a,i,j); //a[i]大于m的值与a[j]小于m的值进行交换，但数组的位置不变 } //System.out.println("分组后，返回的序号j值是："+(j)); return j; } //采用递归法合并最短距离值，返回最短距离的点 public static int[] getMinDistancePoint(int a[] , int result[],int n ,int first , int end) { if(end-first <= 1){ //递归终止条件 return result; } int j = divideArray(a,first,end); int minDistance = result[1] - result[0]; //最短距离两点之间的距离大小 if(minDistance > getArrayMin(a,j,end)-getArrayMax(a,first,j)) { result[0] = getArrayMax(a,first,j); //最短距离两点中数值最小的点 result[1] = getArrayMin(a,j,end); //最短距离两点中数值最小的点 } int result_one[] = getMinDistancePoint(a,result,2,first,j); //递归 int minDistance_one = result_one[1] - result_one[0]; int result_two[] = getMinDistancePoint(a,result,2,j,end); //递归 int minDistance_two = result_two[1] - result_two[0]; if(minDistance > minDistance_one) result = result_one; if(minDistance > minDistance_two) result = result_two; return result; } public static void main(String[] args){ int a[] = new int[10]; int b[] = new int[2]; b[0] = 0; b[1] = 100; a = initializationArray(15); String one_text = ""; for(int i = 0;i < 15;i++){ one_text += "直线随机点Point["+i+"] = "+a[i]+"\n"; //System.out.print("数组a["+i+"] = "+a[i]+"\n"); } int result[] = getMinDistancePoint(a,b,2,0,15); //System.out.println("result[0] = "+result[0]+"\n"+"result[1] = "+result[1]); one_text += "最短距离点对第1点result[0] = "+result[0]+"\n"+"最短距离点对第2点result[1] = "+result[1]; System.out.print(one_text); } }
运行结果如下：
（2）平面空间求最近点对问题
平面空间教直线空间求最近点对问题就变得更加复杂一点，在此就只讨论使用蛮力法求解平面空间求最近点对问题，如有对平面使用分治法求解感兴趣的同学请看本文末尾参考资料2。
蛮力法方案具体如下：
由于是在平面，点坐标表示为（x,y）,在此先创建一个Point类(方便后续功能类实现)：
package com.liuzhen.ex_two; public class Point { private int x; //平面点中的x坐标 private int y; //平面点中的y坐标 //未给类对象初始化时，默认点坐标为(0,0) public Point(){ this.x = 0; this.y = 0; } public Point(int x,int y){ this.x = x; this.y = y; } //给x赋值 public void setX(int x){ this.x = x; } //给y赋值 public void setY(int y){ this.y = y; } //返回x public int getX(){ return x; } //返回y public int getY(){ return y; } }
蛮力法代码如下：
package com.liuzhen.ex_two; public class ClosestPionts {//平面中求两点最短距离问题解法 //初始化一个平面中n个点，具体点的坐标值随机生成 public static Point[] initializationPlaneArray(int n){ Point result[] = new Point[n]; for(int i = 0;i < n;i++){ int x1 = (int)(Math.random()*50); //采用随机函数随机生成1~100之间的数 int y1 = (int)(Math.random()*50); result[i] = new Point(x1,y1); } return result; } //蛮力法直接求平面中两点之间的最短距离，返回最短距离的两点坐标 public static Point[] getMinDistancePlanePoint(Point a[],int n){ Point result[] = new Point[2]; double min = 10000; //定义两点之间最短距离变量，初始化为10000 for(int i = 0;i < n;i++){ int x = a[i].getX(); int y = a[i].getY(); for(int j = i+1;j < n;j++){ int x1 = a[j].getX(); int y1 = a[j].getY(); long minSquare = (x-x1)^2 + (y-y1)^2; //利用数学中求两点之间距离公式，得到两点之间距离的平方 double min1 = Math.sqrt(minSquare); //求两点之间距离的中间变量 if(min > min1){ min = min1; result[0] = new Point(x,y); result[1] = new Point(x1,y1); } } } return result; } public static void main(String[] args){ String two_text = ""; Point c[] = initializationPlaneArray(15); for(int i = 0;i < 15;i++){ two_text += "Point["+i+"] = "+"("+c[i].getX()+","+c[i].getY()+")"+"\n"; //System.out.println("c["+i+"] = "+"("+c[i].getX()+","+c[i].getY()+")"); } //System.out.println(two_text); Point back[] = getMinDistancePlanePoint(c,15); for(int i = 0;i < 2;i++){ two_text += "距离最短的两点第"+(i+1)+"个点坐标是："+"("+back[i].getX()+","+back[i].getY()+")"+"\n"; //System.out.println("距离最短的两点第"+(i+1)+"个点坐标是："+"("+back[i].getX()+","+ //back[i].getY()+")"); } System.out.println(two_text); } }
运行结果如下：
对于本问题，我用安卓做了一个简单的展示页面(PS：具体介绍请参考我的另一篇博客：用安卓实现斐波那契数和最近点对问题 )：
参考资料：
每天一小步，成就一大步
