UVa 1330 & SMOJ 2706
UVa 1330/POJ 1964
题意
给定1个\(n\times m\)的矩阵，每个字符为'R'或'F'。
你的矩形只能覆盖在'F'上。询问最大的矩形面积。
\(n,m \leq 1000\)
题解
首先预处理每个点向上延伸的最大高度\(height[i][j]\)。
再枚举矩形的右下角及其宽度\(width\)，高度即为\(min_{k=j-width+1}^{j}height[i][k]\)。
时间复杂度\(O(n^3)\)，无法通过。
之所以效率低下是因为我们漫无目的地枚举右下角，查找了很多个无用的矩形。
考虑仅枚举出本质不同的极大矩形。所谓极大矩形，是指在特定条件下无法进行扩展的合法矩形。
由于合法矩形的“短板原则”，不妨枚举\((i,j)\)时将\(height[i][j]\)作为高\(h\)，则极大情况为\((向左第1个height小于h的位置,向右第1个height小于h的位置)\)
快速求解这2个位置：考虑二分答案，判定可用线段树维护区间\(height\)最小值，或者将合法位置价值视为1，非法视为0，将判定问题转化为矩阵和问题。时间复杂度\(O(n^2log^2n)\)或\(O(n^2logn)\)。
可以用二分做，自然是具有单调性的，不妨考虑用单调的数据结构进行维护。假设我们维护1个序列，保存左边可能阻碍\(height[i][j]\)的位置。对于序列中的两个位置\(a、b\)，若\(a < b\)且\(height[i][a] > height[i][b]\)，那么\(a\)的阻碍性一定弱于\(b\)，没有存在的必要；若\(a < b\)且\(height[i][a] < height[i][b]\)，则某些情况下\(b\)比\(a\)更早地成为阻碍，需要保留。因此，我们只需维护1个下标递增，\(height\)递增的序列（单调栈），即可在\(O(1)\)时间内查询到左边的阻碍位置。右边的阻碍位置也是同理，倒序做即可。
时间复杂度：\(O(n^2)\)。[代码见此](https://github.com/littlewyy/OI/blob/master/poj 1964.cpp)
题外话
在网上看到1种做法：求\(l\)时利用\(l[i-1]\)，若\(h[i-1] >= h[i]\)则\(l[i] \leq l[i-1]\)，故进行迭代，令\(i = l[i-1]\)继续查找；否则\(l[i] = i - 1\)。感觉时间复杂度很不严格，像是骗分。一时又构造不出能Hack掉的数据；似乎一维情况下1234512345形式可以令其变慢，但二维情况下又会少了1些机会。日后再想。
相关题目（加强）:SMOJ 2706
题意
给定1个\(n\)行\(m\)列，只含'#'或'.'的矩阵。
\(Light[i][j]\)：包含\((i,j)\)且不含'#'的矩阵个数
求\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}Light[i][j]\)
\(n,m \leq 2000\)
题解
若从每个格子的角度出发，则求包含\((i,j)\)的不同合法矩阵个数。若对每个格子都计算会很麻烦。
题目中要求\(Light\)的总和，那不妨转化1下，从每个合法矩形出发思考。
则答案可转化为所有合法矩形的面积之和。
为了达到平方级别复杂度，我想的是转化成查找出极大矩形，再直接累加极大矩形内的子矩形大小和（可以通过公式\(O(1)\)计算）。但显然，当极大矩形存在重叠时，会重复计数；并且极大矩形间错综复杂，去重也难以实现。
当涉及重复问题时，不妨增加一些限制，降低去重的难度/直接做到不重不漏。
不是十分优美的\(O(n^3)\)做法：枚举合法矩形的右下端点\((i,j)\)及其左下端点\((i,k)\)，累加此时极大矩形内右下端点为\((i,j)\)的子矩形大小和，并减去与左下端点\((i,k + 1)\)时的极大矩形相交部分的子矩形大小和。若使用单调栈保存相同高度的极大矩形，根本跑不满，在\(SMOJ\)的随(la)机(ji)数据下可以轻松水过。
优美的\(O(n ^ 2)\)做法：（神仙！）枚举横线\(i\)，求底边在\(i\)的合法矩形面积和。首先不妨想办法覆盖在这条线的所有子矩形：枚举\((i,j)\)并将其\(Height[i][j]\)作为高求极大矩形，求各个极大矩形内过\((i,j)\)的子矩形面积和，因为每1个子矩形仅属于1个顶到天花板的极大矩形，则仅在天花板的位置进行计数即可；另外，1个子矩形的天花板可能有多处，会在不同的天花板位被重复计数；故假设\(Height[i][a] = Height[i][b]\)，应避免横坐标为\(a \rightarrow b\)与\(b \rightarrow a\)的子矩形被重复统计：令\(b\)的极大矩形不能延伸到\(a\)。具体地，计算极大矩形时，强行令左边的高度必须大于\(Height[i][j]\)，右边的高度可以大于等于\(Height[i][j]\)，即可做到不重不漏。
窝太菜了QAQ。本题的精妙之处在于
利用天花板保证不漏（即上升到某种方式进行批量计数）；
利用强行限制保证不重（有时比容斥好用）。
时间复杂度：\(O(nm)\)。代码见此。
