加分二叉树

一道入门的区间dp，当然，根据写法不同你还可以把它归类为树形dp或者记忆化搜索，其实都无所谓啦。
作为一道入门题，我们完全可以“显然”地做出来，但是在这里还是想和大家回顾下动态规划以及区间动规。

Q：dp特点是什么？
A：dp把原问题视作若干个重叠的子问题的逐层递进，每个子问题的求解过程都会构成一个“阶段”，在完成一个阶段后，才会执行下一个阶段。
Q：dp要满足无后效性，什么叫无后效性？
A：已经求解的子问题不受后续阶段的影响。

有人觉得dp很抽象，那是因为没有一步一步来想，直接听别人的结论，我们在这里以这道题为例，一步一步来推导。

首先，我们要做的就是设计状态，其实就是设计dp数组的含义，它要满足无后效性。
关注这个 左子树*右子树+根 我只要知道左子树分数和右子树分数和根的分数（已给出），不就可以了吗？管他子树长什么样！
所以，我们ff数组存的就是最大分数，怎么存呢？
我们发现：子树是一个或多个节点的集合。
那么我们可不可以开一个f[i][j]f[i][j]来表示节点i到节点j成树的最大加分呢？可以先保留这个想法（毕竟暂时也想不到更好的了）。

如果这样话，我们就来设计状态转移方程。
按照刚刚的设计来说的话，我们的答案就是f[1][n]f[1][n]了，那么我们可以从小的子树开始，也就是len，区间长度。有了区间长度我们就要枚举区间起点，i为区间起点，然后就可以算出区间终点j。
通过加分二叉树的式子我们可以知道，二叉树的分取决于谁是根，于是我们就在区间内枚举根k。
特别的，f[i][i]=a[i]f[i][i]=a[i]其中a[i]为第i个节点的分数。
因为是要求最大值，所以我们就可以设计出f[i][j]=MAX(f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k])f[i][j]=MAX(f[i][k−1]∗f[k+1][j]+f[k][k])于是乎，我们就自己设计出了一个dp过程，因为是顺着来的，所以很少有不成立的。

至于输出前序遍历，我们再设计一个状态root[i][j]root[i][j]来表示节点i到节点j成树的最大加分所选的根节点。
所以我们按照$根->左->右$的顺序递归输出即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long

using namespace std;
ll ans;
inline ll max(ll x,ll y)
{
return x>y?x:y;
}
int n;
ll val[200],f[40][40],root[40][40];
inline ll read()
{
char ch;
ll sign=1;
while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')
if(ch=='-') sign=-1;
ll res=ch-'0';
while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
res=res*10+ch-'0';
return res*sign;
}
void print(int i,int j)
{
if(i>j) return;
if(i==j)
{
printf("%d ",i);
return;
}
printf("%d ",root[i][j]);
print(i,root[i][j]-1);
print(root[i][j]+1,j);
return;
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
val[i]=read();
f[i][i]=val[i];
f[i][i-1]=1;
}
for(int i=n;i>=1;i--)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{

for(int k=i;k<=j;k++)
{
if(f[i][j]<f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k])
{
root[i][j]=k;
f[i][j]=f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k];
}
}
}
printf("%lld\n",f[1][n]);
print(1,n);
return 0;
}