大数运算（1）—— 加法篇

 前言

　　最近遇到一道求阶乘的题目，原以为极其简单，但是阶乘的结果超过了范围最大的基本数据类型的范围，于是就着手研究大数运算（large number computing），本篇先介绍大数加法。

原理

　　大数运算的原理其实就是模拟人工计算（注记：再考虑是否有其他算法。注记日期：2017.3.19），人工加法计算步骤如下：

　　　　1.将两个操作数（operand）位数对齐。

　　　　2.从最低位开始，计算两个操作数每位的总和再加上进位数（第一位数为0）的结果，保留其个位数。

　　　　3.若上述的结果大于10，进位数置为1，否则为0。（每位数相加的结果不会超过 9 + 9 = 18 ， 因此进位数只有1和0）

　　　　4.重复上述步骤2、3，直到计算完两个操作数其中那个位数小的最高位。

　　知晓了步骤，就需要考虑设计储存操作数的数据结构。首先使用列表是毋庸置疑的，而顺序结构和链表结构其实都行，这里为里减少代码量和说明问题，暂且使用顺序结构。

　　综上，给出操作数的结构体如下：

typedef struct operand
{
    int data[100];
    int digit;    // 记录该数位数
} OPERAND;

　　注意，这里给出最大位数为100，下面给出的代码中没有考虑溢出问题，请读者自行解决。

实现

　　首先，思考上述步骤1的对齐问题，可以定义一个偏移量（offset）来存储两个操作数的位数之差，之后遍历的时候可以给位数少的增加偏移量来达到对齐目的。可是这种做法会增加一定的代码量，因此不妨试着把数字倒着存放，即数组第一个元素存储操作数的最低位（注意前述做法的前提与此相反），这样做就省去了写对齐的代码。

　　下面给出该出加法函数，其中结果保存到第一个操作数中：

void plus(OPERAND* operand1,OPERAND* operand2)
{
    int carry = 0;    // 进位标记
    int i = 0 , j = 0;
    for(;i < operand1->digit || j < operand2->digit;i++ , j++)
    {
        int sum = operand1->data[i] + operand2->data[j] 
                  + carry;    // 计算该位数总和加上进位数
        operand1->data[i] = sum % 10;    // 更新该位数的数据
        carry = (sum >= 10)? 1 : 0 ;    // 判断是否进位
    }
    operand1->digit = (operand1->digit > operand2->digit)?
                       operand1->digit : operand2->digit ;
                       // 更新位数
    if(carry)    // 若最后需要进位
    {
        operand1->data[operand1->digit] = 1;
        operand1->digit += 1;
    }
}

　　其中，sum % 10 用于求个位数，还有注意最后别忘了最高位的进位问题。