bzoj 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)（莫队算法）

 

【题目链接】

 

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2038

 

【题意】

 

    给定一个有颜色的序列，回答若干个询问:区间内任选两个颜色相同的概率。

 

【思路】

 

    设一个颜色在区间内的出现次数为cnt，则抽到这种颜色的概率为：

        (cnt-1)*cnt/2 = 1+2+…+cnt-1

    对于一个区间我们就可以使用一个cnt数组通过扫一遍得出答案。暴力的话，可以拿两个指针，每次移动指针，对数据进行插入与删除。

    莫队算法就是在此基础上有序化了数据。将序列每sqrt(n)分成一块，根据查询的左端点所在块编号和右端点为第一二关键字排序。相邻的区间的重叠部分不重复计算，而是采用移动指针的方法，并通过合适的数据结构维护区间内的数据，支持在原来答案的基础上添加或删除数据即区间移动。

    关于复杂度的分析：

一、i与i+1在同一块内，r单调递增，所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
二、i与i+1跨越一块，r最多变化n，由于有n^0.5块，所以这一部分时间复杂度是n^1.5
三、i与i+1在同一块内时变化不超过n^0.5，跨越一块也不会超过2*n^0.5，不妨看作是n^0.5。由于有n个数，所以时间复杂度是n^1.5
于是就变成了O(n^1.5)了

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　from...不详

 

【代码】

 

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 5e4+10;

ll read() {
    char c=getchar();
    ll f=1,x=0;
    while(!isdigit(c)) {
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(isdigit(c))
        x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

struct Node 
{
    int pos,l,r,id;
    bool operator < (const Node& rhs) const
    {
        return pos<rhs.pos||(pos==rhs.pos&&r<rhs.r);
    }
}q[N];

ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0? a:gcd(b,a%b);
}

int n,m,c[N],cnt[N];
pair<int,int> ans[N];

int main()
{
    n=read(),m=read();
    FOR(i,1,n) c[i]=read();
    int B=sqrt(n);
    FOR(i,1,m)
    {
        q[i].l=read();
        q[i].r=read();
        q[i].pos=(q[i].l-1)/B+1; 
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+m+1);
    int l=1,r=0; ll now=0;
    FOR(i,1,m)
    {
        while(l>q[i].l)
            now+=cnt[c[--l]]++;
        while(l<q[i].l)
            now-=--cnt[c[l++]];
        while(r<q[i].r)
            now+=cnt[c[++r]]++;
        while(r>q[i].r)
            now-=--cnt[c[r--]];
        ll sum=(ll)(r-l+1)*(r-l)/2;
        ll g=gcd(sum,now);
        ans[q[i].id]=make_pair((int)now/g,(int)sum/g);
    }
    FOR(i,1,m)
        printf("%d/%d\n",ans[i].first,ans[i].second);
    return 0;
}