【数字拆解】
/* 数字拆解 说明: 这个题目来自于 数字拆解,我们将之改为C语言的版本,并加上说明。 题目是这样的: 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 所以有三种拆法 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 共五种 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 共七种 依此类推,请问一个指定数字NUM的拆解方法个数有多少个? 解法: 我们以上列中最后一个数字五的拆解为例,假设f(n)为数字n的可拆解方式个数,而f(x, y)为使用y以下的数字来拆解x的方法个数 ,则观察: 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 使用函数式来表示的话: f(5) = f(4, 1) + f(3, 2) + f(2, 3) + f(1, 4) + f(0, 5) 其中f(1, 4) = f(1, 3) + f(1, 2) + f(1, 1), 但是使用大于1的数字来拆解1没有意义,所以f(1, 4) = f(1, 1), 而同样的, f(0, 5) 会等于f(0,0),所以: f(5) = f(4, 1) + f(3, 2) + f(2, 3) + f(1, 1) + f(0, 0) 依照以上的说明, 使用动态程式规划(Dynamic programming)俩进行求解,其中f(4, 1)其实就是f(5 - 1, min(5 - 1, 1)), f(x, y)就等于f(n - y, min(n - x, y)), 其中n为要拆解的数字, 而min()表示取两者中较小的数。 使用一个二维阵列表格table[x][y]来表示f(x, y),刚开始时, 将每列的索引0与索引1元素值设定为1,因为任何数字以0以下的数 拆解必只有1种,而任何数以1以下的数拆解也必只有1种: for(i = 0; i < NUM + 1; i++) { table[i][0] = 1; table[i][1] = 1; } 接下来就开始一个一个进行拆解了,如果数字为NUM,则我们的阵列维度大小必须为NUM * (NUM / 2 + 1), 以数字10为例,其维 为 10 * 6 我们的表格将会如下所示: 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 2 3 0 0 1 1 3 4 5 0 1 1 3 5 6 7 1 1 4 7 9 0 1 1 4 8 0 0 1 1 5 0 0 0 1 1 0 0 0 0 */ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define NUM 10 //要拆解的数字 #define DEBUG 0 int main(void) { int table[NUM][NUM / 2 + 1]; //动态规划表格 int count = 0; int result = 0; int i, j, k; printf("数字拆解\n"); printf("3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 所以有三种拆法\n"); printf("4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1"); printf("共五种\n"); printf("以此类推,求 %d 有几种拆法 ? ", NUM); for(i = 0; i < NUM; i++) //初始化 { table[i][0] = 1; table[i][1] = 1; } for(i = 2; i <= NUM; i++) //动态规划 { for(j = 2; j <= i; j++) { if(i + j > NUM) { continue; } count = 0; for(k = 1; k <= j; k++) { count += table[i - k][(i - k >= k) ? k : i - k]; } table[i][j] = count; } } for(k = 1; k <= NUM; k++) //计算并显示结果 { result += table[NUM - k][(NUM - k >= k) ? k : NUM - k]; } printf("\n\nresult: %d\n", result); if(DEBUG) { printf("\n除错资讯\n"); for(i = 0; i < NUM; i++) { for(j = 0 ; j < NUM / 2 + 1; j++) { printf("%2d", table[i][j]); } printf("\n"); } } return 0; }
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