LFYZ-OJ ID: 1019 位数问题

位数问题

问题描述

在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3？由于结果可能很大，你只需要输出这个答案对12345取余的值。

INPUT

输入一个数N(1<=N<=1000)，输入以0结束。

OUTPUT

对于每一个N输出有多少个数中有偶数个数字3。

Sample Input

2
0

Sample Output

73

分析

已知N的最大值为1000，1000位的数字的个数约有10¹⁰⁰⁰个，这是个天文数字，故不可能使用枚举法一一统计。本题需使用递推的思想：

设E(n)为n位数中有偶数个3的数字个数，O(n)为n位数中有奇数个3的数字个数。从n位数转变为n+1位数可以在n位数的基础上增加一位：

偶数的英文为“Even”， 奇数的英文为“Odd”，在这里“O(n)”可能会和时间复杂度的概念混淆，小心避免理解出错。

• 如果n位数中有偶数个3，新增一个数位为3，则n+1位数中有奇数个3
• 如果n位数中有偶数个3，新增一个数位为非3，则n+1位数中有偶数个3
• 如果n位数中有奇数个3，新增一个数位为3，则n+1位数中有偶数个3
• 如果n位数中有奇数个3，新增一个数位为非3，则n+1位数中有奇数个3

递推关系用公式表达如下：

• E(n+1)=E(n)*9+O(n) => E(n)=E(n-1)*9+O(n-1)
• O(n+1)=E(n)+O(n)*9 => O(n)=E(n-1)+O(n-1)*9

1位数有10个：[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], 数字3中有奇数个（1个）数字3，其它9个数字中有偶数个（0个）数字3，因此E(1)=9, O(1)=1，这就是递推的已知条件，也是我们递推的起点。但在递推的时候，数字的第一位是不能为0的，所以递推到第一位（我们从低位往高位推）时，不是乘9，而是乘8。

当N很大时，数字必定会超过int能够表达的范围从而导致溢出，所以在递归过程中要不断的按照题目要求和12345求余以将数字控制在一定范围内。

通过递推计算，时间复杂度为O(N)。

代码示例

#include<iostream>
using namespace std;
int EVEN[1001], ODD[1001];		//Even存储偶数项，ODD存储奇数项
int main(){
	int N, x=9;
	scanf("%d", &N);
	EVEN[1]=9;                  //递推起点
	ODD[1] =1;                  //递推起点
	for(int i=2; i<=N; i++){
		if(i==N) x=8;           //递推到最高项时
		EVEN[i]=(EVEN[i-1]*x+ODD[i-1])%12345;
		ODD[i] =(EVEN[i-1]+ODD[i-1]*9)%12345;
	}
	printf("%d", EVEN[N]);
}