初等数论初步——剩余类和欧拉函数

一、有关剩余类

定义1：从模n的每个剩余类中各取一个代表元，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个剩余类。

定义2：用φ(n)表示从1,2,...,n中与n互素的整数的个数。

定义3：从模n的每个互素剩余类中各取一个代表元，得到一个由φ(n)个元素组成的集合，叫做模n的简化剩余类。

定理1：设n为正整数，a,b为整数且(a,n) = 1,若{a₁,a₂,...,a_n}是模n的一个完全剩余类，则{aa₁+b,aa₂+b,...,aa_n+b}也是模n的一个完全剩余类。

证明：反证法。略。

定理2：设n为整数，a为整数且(a,n) = 1，若{a₁,a₂,...,a_φ(n)}为模n的一个简化剩余类，则{aa₁,aa₂,...,aa_φ(n)}也是模n的一个简化类。

证明：由定理1知aa₁,aa₂,...,aa_φ(n)模n两两不同余。

         下面证明aa₁,aa₂,...,aa_φ(n)与n都互素，因为(a,n) = 1,所以存在整数u,v,使得au+nv= 1;又因为(a_i,n) = 1,所以存在整数s,t,使得 a_is+nt = 1。

        于是(au+nv)*(a_is+nt) = aa_i(us) + n(a_isv+aut+nvt) = 1,易知(aa_i,n) = 1(反证法，假如最大公因数大于1，不可能组合得到1)。

         所以{aa₁,aa₂,...,aa_φ(n)}是模n的一个简化剩余类。

由上面的证明过程，我们可以得到最大公因数的一个重要性质：

　　

定理3：设m、n为正整数且(m,n) = 1,若{a₁,a₂,...,a_m}是模m的一个完全剩余类，{b₁,b₂,...,b_n}是模n的一个完全剩余类，则所有整数 na_i+mb_i组成的集合为模mn的一个完全剩余类。

定理4：设m、n为正整数且(m,n) = 1,若{a₁,a₂,...,a_φ(m)}是模m的一个简化剩余类，{b₁,b₂,...,b_φ(n)}是模n的一个简化剩余类，则所有整数na_i+mb_i组成的集合为模mn的一个简化剩余类。

由定理4，我们立即可以得到如下关系式：

　　　　

二、欧拉函数表达式

            

证明：

由算数基本定理，n可以被分解为n = p₁^t₁*p₂^t₂...p_k^t_k.

由上面的关系是知φ(n) = φ(p₁^t₁₎*φ(p₂^t₂₎...φ(p_k^t_k)

下面证明：对任意正整数t和素数p,总有φ(p^t) = p^t - p^t-1.

因为p是素数，所以不与p^t互素的数都是p的倍数，1~p^t中p的倍数分别是p,2p,...,p^t-1p,共p^t-1个.

从而1~p^t中与p互素的有p^t-p^t-1个，即φ(p^t) = p^t - p^t-1.

这样有φ(n) = (p^t1 - p^t1-1)(p^t2 - p^t2-1)...(p^tk - p^tk-1)

　　　　　=p₁^t₁*p₂^t₂...p_k^t_k(1-1/p₁)(1-1/p₂)...(1-1/p_k)

　　　　　=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)...(1-1/p_k)