用群论证明费马小定理和欧拉定理

费马小定理

设m为素数，a为任意整数，且$(a, m)=1$，则$a^{m-1} \equiv 1(mod \ m)$.

证明：

 构造一个群$G<{[1],[2], \cdots, [m-1]}, \equiv *>$，下证这是一个群.

封闭性:对任意[i]、[j]，假如不封闭，因为集合是除[0]外的剩余类，所以$[i][j]=0$ 

$\because  [i][j]=0 \quad [ij]=0,则m | ij，又因为 (i,m)=1 \quad (j,m)=1 \therefore (ij,m)=1 \quad 矛盾\therefore \quad G是群$ 

单位元：显然，[1]

逆元：对任意[k]，m为素数，$\because (k, m)=1 \quad \therefore ks+mt=1 \quad m|ks-1 \quad \therefore ks \equiv 1(mod \ m) \quad \therefore存在[s]$

由拉格朗日定理推论：有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶

设p是a的阶，$a^p \equiv [1](mod \ m)$，$\because p | m-1 \therefore a^{m-1}={(a^p)}^t \equiv 1(mod \ m)$

 

欧拉定理

设m为正整数，a为任意整数，且(a, m)=1，则$a^{\varphi (m)}\equiv 1(mod \ m)$，其中$\varphi (m)$表示1，2，...，m中与m互素的数的个数.

证明：

把与m互素的剩余类作为一个集合H(即简化剩余类)，$H={[a_1],[a_2], \cdots ,[a_{\varphi(n)}]}$.

构造群$G=<H, \equiv *>$.

封闭性、单位元、逆元与上面证明类似.