陈丹琪《弦图与区间图》总结

弦(chord)：连接环中不相邻的两个点的边。

弦图(chordalgraph)：一个无向图称为弦图当且仅当图中任意长度大于3的环都至少有一个弦。

单纯点(simplicialvertex)：设N(v)表示与点v相邻的点集。一个点称为单纯点当{v} + N(v)的诱导子图为一个团。

完美消除序列(perfect elimination ordering)：这是一个序列{v[i]}，它满足v[i]在{v[i..n]}的诱导子图中为单纯点。

弦图的判定：存在完美消除序列的图为弦图。可以用MCS最大势算法求出完美消除序列。

 

最大势算法 Maximum Cardinality Search

从n到1的顺序依次给点标号(标号为i的点出现在完美消除序列的第i个)。

设label[i]表示第i个点与多少个已标号的点相邻，每次选择label[i]最大的未标号的点进行标号。

用n个vector来保存label为i的是哪些点，可以使复杂度达到O(n+m)。

 

弦图上的问题：

用最少的颜色给每个点染色使得相邻的点染的颜色不同：完美消除序列从后往前依次给每个点染上可以染的最小的颜色。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define MAX(a,b) a>b?a:b
#define MIN(a,b) a<b?a:b
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define rep(i,n) for (i=1;i<=(n);i++)
#define INF 1000000000
#define N 11000
#define M 2100000
using namespace std;
int ans,b[N],c[N],lab[N],j,vis[N],a[N],ee,m,nex[M],head[N],e[M],u,v,i,n,best;
vector<int> vec[N];
void add(int u,int v)
{
    e[++ee]=v;nex[ee]=head[u];head[u]=ee;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,m)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    best=0;
    for (i=1;i<=n;i++)
        vec[0].push_back(i);
    for (i=n;i>=1;i--)
    {
        while (1)
        {
            u=vec[best].back();
            if (vis[u])
                vec[best].pop_back();
            else
                break;
            while (vec[best].size()==0)
                best--;
        }
        a[i]=u;
        vis[u]=1;
        for (j=head[u];j>0;j=nex[j])
        {
            lab[e[j]]++;
            best=MAX(lab[e[j]],best);
            vec[lab[e[j]]].push_back(e[j]);
        }
    }
    //for (i=1;i<=n;i++)printf("lbz %d\n",a[i]);
        
    for (i=n;i>=1;i--)
    {
        for (j=head[a[i]];j>0;j=nex[j])
        {
            b[c[e[j]]]=i;
        }    
        rep(j,n)
            if (b[j]!=i)
            {
                c[a[i]]=j;
                ans=MAX(ans,c[a[i]]);
                break;
            }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;

}

 

 最大独立集：完美消除序列从前往后能选就选。

 

判断一个序列是否为完美消除序列：设{vi+1,…,vn}中所有与vi相邻的点依次为vj1,…, vjk。只需判断vj1是否与vj2,…, vjk相邻即可。

 

区间图(Interval Graph)：给定一些区间，定义一个相交图为每个顶点表示一个区间，两个点有边当且仅当两个区间的交集非空。

区间图一定是弦图。

给定n个区间，所对应的区间图为G
G的一个完美消除序列：将所有的区间按照右端点从小到大排序。