Game with Powers

题意：

有1~n，n个数字，两个人轮流操作，每一次一个人可以拿一个数字$x$，之后$x, x^2, x^3....x^t$全都被删掉。

给定n，问最优策略下谁赢。

 

解法：

考虑SG函数，可以注意到题目中取走$x$后，$x^2,x^3...$不可以取，类似石子合并问题。

对于1~n的数字可以分为两类：

　　1.不存在$x^t, t>1$，可以视为一堆只有一块石头的石子堆，$SG(1) = 0$。

　　2.存在$x^t, t>1$。

对于第一种情况，直接记录有多少个x满足条件即可，分奇偶讨论。

对于第二种情况，显然有$t<=30$，可以注意到最终$SG$值和$x$无关，这样打表预处理$sg(t)$表示$x^1,x^2...x^t$

对应的$SG$值，打表直接用$O(2^30)$状压即可（注意到$sg(t)<=30$，所以用char类型的sg数组即可节省空间）。

实际上有效的状态并不多，所以只要几秒钟（意外的快）。

最后求NIM和即可。

总效率$O(\sqrt{n}*logn)$

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define N 1000010
#define LL long long

using namespace std;

bool flag[N];
int n;
int SG[]={0,1,2,1,4,3,2,1,5,6,2,1,8,7,5,9,8,7,3,4,7,4,2,1,10,9,3,6,11,12,14};

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int sum=n;
    int ans=0;
    for(LL i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(flag[i]) continue;
        int tmp=0;
        for(LL x=i;x<=n;x*=i)
        {
            if(x*x<=n) flag[x]=1;
            tmp++;
        }
        ans^=SG[tmp];
        sum-=tmp;
    }
    ans ^= sum&1;
    if(ans==0) puts("Petya");
    else puts("Vasya");
    return 0;
}