[数学-构造矩阵]NEFU 1113

根据题意，我已经推导出tn的公式，ti=ti.a+ti.b，ti.a=5*t(i-1).a+4*t(i-1).b，ti.b=t(i-1).a+t(i-1).b

然而下面竟然不能继续推到sn的公式！！！！

这道题考察的就是求任意数列的前n项和，在sn的递推公式不太明显的时候，用矩阵解决。

设矩阵A=，矩阵F0=

那么设矩阵S=(A+A²+A³…. + Aⁿ)*F0

最终答案就是矩阵S内两个元素之和。

那么怎么求A+A²+A³…. + Aⁿ ？

可以继续构造如下的分块矩阵，其中 I 是单位矩阵

设R=，则有： R²=，R³=

可以发现右上角即为 I + A + A^2 + ... + A^n，多一个 I 后面给减掉就可以了

可以用快速幂求出R^n;

然而上面的方法对于此题仍然tle，看了标码发现，能通过推导进一步缩小矩阵的阶数，我这里的R是四阶，而标码里的运算只有三阶。

继续思考：

看看能不能直接推导得到S的通项公式，看讲解：

T[i] = dp[i][0]+dp[i][1]

=6*dp[i-1][1]+5*dp[i-1][0]

=6*T[i-1]-dp[i-1][0]

=6*T[i-1]-T[i-2]

根据S[i]=S[i-1]+T[i]可以计算出：

S[i]=S[i-1]+ 6*T[i-1]-T[i-2]

则有公式：

  

设R= ，搞定！

总结：矩阵的应用，仔细学习上面的构造矩阵和推导过程，第一种构造分块矩阵的方法很有用，它对sn公式不好直接构造矩阵的时候适用。但如果像上面S[i]=S[i-1]+ 6*T[i-1]-T[i-2]这样的公式可以推导出sn的递推矩阵，可以降低复杂度。

#include<stdio.h> 
#include<cstring> 
#include<cmath> 
#include<algorithm> 
#include<queue> 
using namespace std; 
const long long mod = 1000000007; 
struct Ma 
{ 
    long long m[3][3]; 
}; 
Ma operator * (Ma a,Ma b) 
{ 
    Ma c; 
    for(int i=0; i<3; i++) 
        for(int j=0; j<3; j++) 
        { 
            c.m[i][j] = 0; 
            for (int k = 0; k < 3; k++) 
            { 
                c.m[i][j]+=(a.m[i][k]*b.m[k][j]); 
                if(c.m[i][j]>=mod||c.m[i][j]<=-mod) c.m[i][j]%=mod; 
                //c.m[i][j]%=mod; 
            } 
        } 
    return c; 
} 
Ma mm[65]; 
long long cal(long long n) 
{ 
    int cur=0; 
    Ma ans= {1,6,-1, 
             0,6,-1, 
             0,1,0 
            }; 
    while(n) 
    { 
        if(n&1) 
        { 
            ans = ans*mm[cur]; 
        } 
        cur++; 
        n>>=1; 
    } 
    long long tmp=41*ans.m[0][0]%mod+35*ans.m[0][1]%mod+6*ans.m[0][2]%mod+mod; 
    tmp%=mod; 
    while(tmp<0) tmp+=mod; 
    printf("%lld\n",tmp); 
    return tmp; 
} 
//long long ans[10000005]; 
int main() 
{ 
    Ma tmp= {1,6,-1, 
             0,6,-1, 
             0,1,0 
            }; 
    mm[0] = tmp; 
    for(int i=1; i<64; i++) mm[i]=mm[i-1]*mm[i-1]; 
    long long n; 
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF) 
    { 
        if(n==1) puts("6"); 
        else if(n==2) puts("41"); 
        else cal(n-3); 
    } 
    return 0; 
}