1、消元知识点脑图##
2、消元法##
消元是求解方程组的过程。初中时期我们学习过通过方程之间的加减操作，消除某个变量的系数，简化方程，最终求出变量值。在线性代数里，将消元进一步系统化，因此引入了几个概念。我们以一组方程为例。
\[\begin{cases}
& \text x+ 2y + z = 2 & (1)\\
& \text 3x+8y+z=12 & (2)\\
& \text 4y+z=2 & (3)
\end{cases}
\]
我们用矩阵形式来表示该方程组。
\[\begin{bmatrix}
1&2 &1 \\
3&8 &1 \\
0&4 &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2\\
12\\
2
\end{bmatrix}
\]
简化后是
\[AX=b
\]
（1）组成增广矩阵###
\[\begin{bmatrix}
1&2 &1 &2\\
3&8 &1 &12\\
0&4 &1 &2
\end{bmatrix}
\]
增广矩阵是系数矩阵A与b向量合并后的矩阵，下面我们通过这个增广矩阵来进行消元，使得方程左右两边同时变化。大家不理解的时候可以想想方程组的变化。
（2）消元(2,1)元素###
这步消元是消除方程2的x变量。
\[\begin{bmatrix}
\underline{1}&2 &1 &2 \\
3&8 &1 &12\\
0&4 &1 &2
\end{bmatrix}
\overset{(2,1)}{\rightarrow}
\begin{bmatrix}
1&2&1 &2\\
0&2&-2 &6\\
0&4&1 & 2
\end{bmatrix}
\]
首先选择(1,1)元素作为主元(图中画下划线)，消元(2,1)元素。执行如下操作：
\[Row2 = Row2 + Row1\times (-3)
\]
（3）消元(3,1)元素
这一步是消除方程3的(3,1)元素，因为方程3的(3,1)元素为0所以不用继续，若不为0，可以参照步骤2。
（4）消元(3,2)元素
下面进一步消除第三行y的系数。先确定主元(2,2)，大家可以思考下如果(2,2)是0如何操作？
\[\begin{bmatrix}
1&2&1 &2\\
0&{\underline{2}}&-2 &6\\
0&4&1&2
\end{bmatrix}
\]
执行消除(3,2)
\[Row3 = Row3 + Row2\times(-2)
\]
变化如下：
\[\begin{bmatrix}
1&2&1 &2\\
0&{\underline{2}}&-2 &6\\
0&4&1 &2
\end{bmatrix}\overset{(3,2)}{\rightarrow}
\begin{bmatrix}
1&2&1 &2\\
0&2&-2 &6\\
0&0&5&-10
\end{bmatrix}
\]
（5）回代###
经过上面步骤消元后的矩阵等式变成：
\[\begin{bmatrix}
1&2&1 \\
0&2&-2 \\
0&0&5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2\\
6\\
-10
\end{bmatrix}
\]
这里的系数矩阵左下角都是0，称为上三角矩阵(Upper triangular)简称U。
先求出z，代入第二行求出y，最后代入第一行求出x。
\[\begin{cases}
& x=2 \\
& y=1 \\
&z=-2
\end{cases}
\]
主元：是指在消元过程中起主导作用的元素。
3、消元矩阵##
上面的步骤我们还是按照传统求解方程组的形式进行消元，现在我们切换到矩阵形式，以矩阵的语言来表示上面的消元矩阵。
参考第一节的方式简化消元后的矩阵。
令
\[U=\begin{bmatrix}
1&2&1 \\
0&2&-2 \\
0&0&5
\end{bmatrix}
\]
\[c=\begin{bmatrix}
2 \\
6 \\
-10
\end{bmatrix}
\]
矩阵方程可以简化为
\[UX=c
\]
那这样只要将A与某个矩阵相乘得到U，就能算出整个方程组的解了：
\[?A=U
\]
按照上面的消元步骤，分两步变化：
\[E_{32}(E_{21}A)=U
\]
这里的E称为初等矩阵，乘法的结合律在这里依然适用（交换律不适用）于是整个式子就变成了：
\[(E_{32}E_{21})A=U
\]
这里要首先介绍下矩阵变换
令
\[A=\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13} \\
a_{21}&a_{22}&a_{23} \\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{bmatrix}
\\
B=\begin{bmatrix}
b_{11}&b_{12}&b_{13} \\
b_{21}&b_{22}&b_{23} \\
b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{bmatrix}
\]
（1）矩阵相乘###
\[\small{C=AB \\ = \begin{bmatrix}
c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}&c_{13}=a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33} \\
c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}&c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33} \\
c_{31}=a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}&c_{32}=a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32}&c_{33}=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33}
\end {bmatrix} （1）}
\]
\[=\small{\begin{bmatrix}
c_{11}=ARow1*BCol1&c_{12}=ARow1*BCol2&c_{13}=ARow1*BCol3 \\
c_{21}=ARow2*BCol1&c_{22}=ARow2*BCol2&c_{23}=ARow2*BCol3\\
c_{31}=ARow3*BCol1&c_{32}=ARow3*BCol2&c_{33}=ARow3*BCol3
\end {bmatrix} （2）}
\]
\[ =\small{\begin{bmatrix}
col1=A\begin{bmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{bmatrix}&
col2=A\begin{bmatrix} b_{12}\\b_{22}\\b_{32} \end{bmatrix} &
col3=A\begin{bmatrix} b_{13}\\b_{23}\\b_{33} \end{bmatrix}
\end {bmatrix} （3） }
\]
\[ =\small{\begin{bmatrix}
row1=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{bmatrix}B \\
row2=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}B \\
row3=\begin{bmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}B
\end {bmatrix} （4）}
\]
可以看出A决定了C的行，B决定了C的列。从行的角度理解，C的每行就是B各行按照A对应行向量的线性组合；从列的角度理解，C的各列就是A各列按照B对应列向量的线性组合。
（2）计算E###
根据上面提供的矩阵相乘（第三种）的思路。首先计算出
\[E_{21}=\begin {bmatrix}
1&0&0 \\
-3&1&0 \\
0&0&1
\end {bmatrix} \\
E_{32}=\begin {bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&-2&1
\end {bmatrix} \\
E = E_{32}E_{21} = \begin {bmatrix}
1&0&0\\
-3&1&0\\
6&-2&1
\end {bmatrix}
\]
大家可以代入式中计算下
\[EA=U
\]
是否成立。
4、逆##
上面的E我们是依靠消元的步骤求出，并不是完全采用矩阵的形式。数学家们使用了另一种办法。
\[EA=U \\
只需
E^{-1}EA=E^{-1}U => A=E^{-1}U
\]
也就是先求E的逆矩阵，再求E。关于逆会在后续介绍。
5、矩阵置换##
有一类特殊矩阵，可以交换矩阵的行或列。这类矩阵就是置换矩阵。例如
\[I=
\begin {bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end {bmatrix}
\]
对角线为1，其余为0的矩阵为单位矩阵，任何矩阵有AI=IA=A。而将单位矩阵某些行或列交换形成的矩阵称为置换矩阵记为P。
（1）行交换###
交换1，2行
\[PA= \begin {bmatrix}
0&1&0\\
1&0&0\\
0&0&1
\end {bmatrix} \begin {bmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end {bmatrix}=\begin {bmatrix}
d&e&f\\
a&b&c\\
g&h&i
\end {bmatrix}
\]
要交换行，只需先交换I的指定行，然后左乘矩阵。
（2）列交换###
交换1，2列
\[AP= \begin {bmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end {bmatrix} \begin {bmatrix}
0&1&0\\
1&0&0\\
0&0&1
\end {bmatrix} = \begin {bmatrix}
b&a&c\\
e&d&f\\
h&g&i
\end {bmatrix}
\]
要交换列，只需先交换I的指定列，然后左乘矩阵。
