something about数论

1.https://www.luogu.org/problemnew/show/P3197

【越狱】题目要求的是越狱的状态数，总体思路是用所有可能的状态减去不越狱的状态 一共有 n个房间，m个宗教，则总状态数为 m^ n。那么不会越狱的状态就只考虑当前状态 与前一不同即可，则 m* （m1）^ （n1）。最后用个快速幂，即可。

2.https://www.luogu.org/problemnew/show/P2043

2.【质因子分解】因为这题数据小N<=10000，所以可以判断一下是否为质数，是否为因子，然后满 足条件的记个数，然后不停的除，计数。但注意当求是否为因子时，把 i 赋值给另一变量， 不然可能会除没。还找到一种神仙算法。

“

将一个质数不断除本来的阶乘最大数，并把这些商全部加起来。编程代码即为：

while (base > 0)
{
    base /= prime;
    count += base;
}

为什么呢？我们来想一想: （以100！举例）

假如我们把所有会贡献质因子的数列出来的话，就是这样：

1,2,3,4,5,6 …… 97,98,99,1001,2,3,4,5,6……97,98,99,100

我们不妨想一想，这当中有哪些会贡献一个2？ 列出来的话，就是这样：

2 , 4 , 6 …… 98 , 1002,4,6……98,100

可以看到，正好占了[ n/2 ][n/2]个。

那这些数中，又有几个数会再贡献一个2？

4, 8, 12 …… 96, 1004,8,12……96,100

也可以看出，占了[n/2^2][n/22]个。

这样就容易看出，为100！贡献的2共有： [n/2]+[n/2^2]+[n/2^3]+……[n/2]+[n/22]+[n/23]+……

这样虽然是个无穷数列，但是一旦2^k>n2k>n，后面就全是0。

所以我们仅需计算[n/2]+n[n/2^2]+……+[n/2^{k-1}][n/2]+n[n/22]+……+[n/2k−1]即可。

其余质因数也同理，所以我们先要算出所有比nn小的质数

”from 

3https://www.luogu.org/problemnew/show/P1403

【约数研究】这个题其实找到它的公式就好。f 【i 】=n/ i

， 因为可以把1～n的因子个数看作含2的因子的数的个数， 加上含3的因子的数的的个数。。。。。。而含二的因子的数 的个数为 n/ 2个，三个为 n/ 3个，bal al al a。