组合数学—排列组合
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一 写在开头
这个学期学习了组合数学这门课程，趁现在有时间做一下总结。整个课程的脉络如下图：
1.1 本文内容
本文的内容为排列组合，内容分解图如下。
二 计数法则
2.1 加法法则（分类加法计数）
假设有两个互斥的事件\(A\)与事件\(B\)，事件\(A\)有\(m\)种产生方式，事件\(B\)有\(n\)种产生方式，则事件\(A\)或事件\(B\)有\(m+n\)种产生方式。
2.2 乘法法则（分步乘法计数）
假设有两个相互独立的事件\(A\)与事件\(B\)，事件\(A\)有\(m\)种产生方式，事件\(B\)有\(n\)种产生方式，则事件\(A\)和事件\(B\)有\(m \cdot n\)种产生方式。
2.3 一一对应法则
假设事件\(A\)的产生方式与事件\(B\)的产生方式一一对应，则事件\(A\)的产生方式数与事件\(B\)产生的方式数相等。
要对\(A\)集合计数，但直接计数有困难，于是可设法构造一易于计数的\(B\)，使得\(A\)与\(B\)一一对应。
三 排列与组合的定义及其计算公式
3.1 排列
- 定义：从\(n\)个不同的元素中，取\(r\)个不重复的元素，按次序排列，称为从\(n\)中取\(r\)个的排列。
- 排列数记为\(p(n, r)\)
- 排列数\(p(n, r)\)的计算方法：相当于是从\(n\)个不同的球中取出\(r\)个，依次放入\(r\)个不同的盒子当中。因此，第一个盒子有\(n\)种选择，第二个盒子有\(n-1\)种选择，......，第\(r\)个有\(n-(r-1)\)种。因此可得排列数的计算公式如下：
特别地，当\(r=n\)时，称为全排列，\(p(n, n)=n!\)
3.2 组合
- 定义：从\(n\)个不同元素中取\(r\)个元素，且不考虑顺序，称为从\(n\)个中取\(r\)个的组合。
- 组合数用\(c(n,r)\)或者\(\tbinom{n}{r}\)来表示
- 与排列不同的是，组合只是相当于从\(n\)个球中选择\(r\)个组合在一起即可，与排列相比，无需\(r\)个球构成一个全排列这么一个操作。因此，组合数的计算相当于是在排列数的基础上除去一个\(r\)的全排列\(r!\)即可。所以
四 圆排列与项链排列
4.1 圆排列
- 定义：从\(n\)个不同的元素中取\(r\)个元素排列在一个圆环上的排列
- 圆排列数用\(Q(n,r)\)来表示。因为圆排列的缘故，每\(r\)个首尾相连顺序一样的排列都只能算一种，如下图所示，所以，圆排列数相当于是在排列数的基础上除去\(r\)。所以
4.2 项链排列
- 定义：项链排列如同项链一般，在圆排列的基础上，逆时针方向和顺时针方向的放置各个数是同一个排列。
- 因此项链排列的排列数为\(Q(n, r) \verb|/| 2 = P(n, r) \verb|/| 2r\)
五 可重排列与可重组合
5.1 可重排列
可重排列的定义：
设有\(n\)种不同的物体\(a_1,a_2,...,a_n\)，
第一种物体\(a_1\)有相同的\(k_1\)个，
第二种物体\(a_2\)有相同的\(k_2\)个，
......
第n中物体\(a_n\)有相同的\(k_n\)个，
从这\(n\)中物品里取\(r\)个物品进行排列，称为\(r\)可重排列。
依据\(r\)和\(k_i\)的数量情况可以分为以下三种情况：
-
\(r = k_1 + k_2 + ... + k_n\)
-
\(k_1 \ge r, k_2 \ge r, ... , k_n \ge r\)或者\(k_1 = \infty, k_2 = \infty, ..., k_n = \infty\)
-
存在\(k_i < r\)
那么对于上述三种情况，如何计算它们的排列数呢？
对于情况1，设\(S =\left \{ k_1 \cdot a_1, k_2 \cdot a_2, ..., k_n \cdot a_n\right \}\)，当\(k_1 + k_2 + ... + k_n = r\)时，从\(n\)种物品中取\(r\)个物品的全体排列数用\(P(r;k_1, k_2,...,k_n)\)或\(\tbinom{r}{k_1 k_2 ... k_n}\)表示。则
证明过程略
对于情况2，有
证明过程略。
对于情况3，没有一个现成的公式可以计算其排列数。
5.2 可重组合
可重组合的定义：
有\(n\)种不同的物品，构成集合\(S =\left \{ k_1 \cdot a_1, k_2 \cdot a_2, ..., k_n \cdot a_n\right \}\)，从这\(n\)种物品中取出\(r\)个物品的组合，称为\(r\)可重组合。对于可重组合可以分成以下两种特殊情况：
- \(k_i > r~(i = 1, 2, ..., n)\)
- \(a_1 ,a_2, ..., a_n\)至少出现一次的组合
对于情况1，有
简要证明：
第1步：问题相当于\(r\)个相同的球放入\(n\)个互异的盒子，每个盒子的数目可以不同，求总的方案数
第2步：上述问题又可以转换为\(r\)个相同的球与\(n-1\)个相同的盒壁的排列问题
因此，排列数为：
对于情况2，\(a_1 ,a_2, ..., a_n\)至少出现一次的组合数为\(\tbinom{r-1}{r-n}\)
简要证明：
因为\(a_1 ,a_2, ..., a_n\)至少出现一次，所以，先取出\(a_1 ,a_2, ..., a_n\)各一个，剩下的问题就转化为从\(n\)中取\(r-n\)个的可放回组合问题。因此，组合数为：
六 若干组合等式
6.1 Stirling近似公式
Stirling公式给出了一个求\(n!\)的近似公式。
6.2 Pascal公式
该公式相当直观，证明也相当简单：
令\(S\)是\(n\)个元素的集合，任取一个元素用\(x\)表示，则\(S\)的\(k-\)组合的集合可以划分为不包含\(x\)的\(k-\)组合和包含\(x\)的\(k-\)组合，于是
6.3 二项式定理及二项式系数
设\(n\)是正整数，对任意的\(x\)和\(y\)有：
其中\(\tbinom{n}{k}\)为二项式系数。
根据上述二项式定理，有以下推论：
令\(y=1\)有：
令\(y = 1, x = -x\)有：
令\(x = 1, y = 1\)有：
令\(x = -1, y = 1\)有：
6.4 多项式定理
设\(n\)是正整数，则对一切实数\(x_1, x_2, ..., x_m\)有：
其中\(\tbinom{n}{n_1 n_2 ... n_m}\)为多项式系数。
6.5 牛顿二项式定理
设\(\alpha\)是一个实数。则对于所有满足$0 \leq \vert x \vert < \vert y \vert \(的\)x\(和\)y$有：
其中
6.6 组合恒等式
下面是一些组合恒等式，证明过程略。
七 生成算法
生成算法也叫构造算法，生成算法完成的功能是将所有满足要求的排列或组合无重复，无遗漏地枚举出来
7.1 排列生成算法
排列的构造算法主要有直接法，字典序法，序列法，逆序数法，邻位对换法等等，接下来要介绍其中的一种：字典序法。
字典序法：从自然顺序123...n开始，按照字典序依次构造集合{1, 2, ..., n}的所有全排列，由一个排列构造下一个排列的算法如下：
- 从\(p_1 p_2 ... p_n\)从右向左扫描，找出比右邻数字小的第1个数字\(p_i\)
- 对\(p_1 p_2 ... p_n\)从右向左扫描，找出比\(p_i\)大的第一个数\(p_j\)
- 将\(p_i\)和\(p_j\)互换得到\(b_1 b_2 ... b_n\)
- 将\(b_1 b_2 ... b_n\)中的\(b_{i+1}\)到\(b_n\)部分的顺序逆序，得到\(b_1 b_2 ... b_n ... b_{i+1}\)即为下一个排列
该算法流程很清晰，可以用C++实现如下：
void generate_permutations(vector<string> &v, int n)
{
if (n < 1)
return ;
// 构建初始和结束排列
string first, last;
for (int i = 1; i <= n; i++){
first.push_back(char('0' + i));
last.push_back(char('0' + n - i + 1));
}
v.push_back(first);
// 依次产生下一个排列并加入向量中
string next, current = first;
while (current != last)
{
// 寻找要对换的两个数的位置pi和pj
decltype(current.length()) i, j, pi, pj;
for (i = current.length() - 1; i >= 1; i--)
if (current[i-1] < current[i]){
pi = i - 1;
break;
}
for (i = current.length() - 1; i > pi; i--)
if (current[i] > current[pi]){
pj = i;
break;
}
// 对换
next = current;
char tmp = next[pi];
next[pi] = next[pj];
next[pj] = tmp;
// 翻转
for (i = pi + 1, j = next.length() - 1; i < j; i++, j--){
char tmp = next[i];
next[i] = next[j];
next[j] = tmp;
}
v.push_back(next);
current = next;
}
}
7.2 组合生成算法
组合的构造算法主要有字典序法，二进制编码法等等，这里介绍前一种算法。算法的详细过程叙述如下：
从{1, 2, ..., n}中取r-组合表示为\(C_1 C_2 ... C_r\)，令\(C_1 < C_2 < ... < C_r\)，其中有\(C_i \leq (n-r+i), i = 1, 2, ..., r\)
则生成后续组合的规则如下
- 对\(C_1 C_2 ... C_r\)从右到左扫描，找出第一个满足\(C_i < (n-r+i)\)的\(i\)
- \(C_i \leftarrow C_i + 1\)
- \(C_j \leftarrow C_{j-1} + 1, j=i+1, i+2, ..., r\)
同样，上述算法可以用C++实现如下：
void generate_combinations(vector<string> &v, int n, int r)
{
if ((r < 1) || (r > n))
return ;
// 构建初始和结束组合
string first, last;
for (int i = 0; i < r; i++){
first.push_back(char('0' + i + 1));
last.push_back(char('0' + n - r + i + 1));
}
v.push_back(first);
// 依次产生下一个组合并加入向量中
string next, current = first;
while (current != last)
{
decltype(current.length()) i, j, pi;
for (i = current.length() - 1; i >= 0; i--)
if ((current[i] - '0') < (n - r + i + 1)){
pi = i;
break;
}
next = current;
next[pi] = next[pi] + 1;
for (j = pi + 1; j < r; j++)
next[j] = next[j-1] + 1;
v.push_back(next);
current = next;
}
}
