怎样用指定的随机数生成函数来实现新的随机数生成函数
阿里巴巴笔试题:假设函数rand_k会随机返回一个【1,k】之间的随机数(k>=2),并且每个整数出现的概率相等。目前有 rand_7,通过调用rand_7()和四则运算符,并适当增加逻辑判断和循环控制逻辑,下列函数可以实现的有:ABCD
A:rand_5 B:rand_21 C:rand_23 D:rand_49
解析:先考虑如何用rand_7()实现rand_5():
一个非常直观的想法就是不断地调用rand7,直到它产生1到5之间的数,然后返回。 代码如下:
int Rand5() { int x; do { x = Rand7(); } while(x > 5) return x; }
这个函数可以等概率地产生1到5的数吗?来计算一下它产生1的概率是不是1/5:
我们要的1可能是第一次调用Rand7时产生,也可能是第二次,第三次,…第n次。 第1次就生成1,概率是1/7;第2次生成1,说明第1次没生成1到5间的数而生成了6,7, 所以概率是(2/7)*(1/7),依次类推。生成1的概率计算如下:
P(x=1)=1/7 + (2/7) * 1/7 + (2/7)^2 * 1/7 + (2/7)^3 * 1/7 + ...
=1/7 * (1 + 2/7 + (2/7)^2 + ...) // 等比数列
=1/7 * 1 / (1 - 2/7)
=1/7 * 7/5
=1/5
上述计算说明Rand5是等概率地生成1,2,3,4,5的(1/5的概率)。从上面的分析中, 我们可以得到一个一般的结论,如果a > b,那么一定可以用Rand_a去实现Rand_b。其中, Rand_a表示等概率生成1到a的函数,Rand_b表示等概率生成1到b的函数。代码如下:
int Rand_b() { int x; do { x = Rand_a(); } while(x > b) return x; }
那么如果a<b呢?譬如现在要用Rand5()来实现Rand7(),只要我们将Rand5() 映射到一个能产生更大随机数的Rand_a,其中a > 7,就可以套用上面的模板了。 这里要注意一点的是,你映射后的Rand_a一定要满足是等概率地生成从1到a的整数的。比如,
Rand5() + Rand5() - 1
上述代码可以生成1到9的数,但它们是等概率生成的吗?不是。生成1只有一种组合: 两个Rand5()都生成1时:(1, 1);而生成2有两种:(1, 2)和(2, 1);生成6更多。 它们的生成是不等概率的。那要怎样找到一个等概率生成数的组合呢?
我们先给出一个组合,再来进行分析。组合如下:
5 * (Rand5() - 1) + Rand5()
Rand5()产生1到5的数,减1就产生0到4的数,乘以5后可以产生的数是:0,5,10,15,20。 再加上第二个Rand5()产生的1,2,3,4,5。我们可以得到1到25, 而且每个数都只由一种组合得到,即上述代码可以等概率地生成1到25(可以将其视作一个5进制的两位数)。
套用上面的模板,我们可以得到如下代码:
int Rand7() { int x; do { x = 5 * (Rand5() - 1) + Rand5(); } while(x > 5) return x; }
上面的代码有什么问题吗?可能while循环要进行很多次才能返回。 因为Rand25()会产生1到25的数,而只有1到7时才跳出while循环, 生成大部分的数都舍弃掉了。这样的实现明显不好。我们应该让舍弃的数尽量少, 于是我们可以修改while中的判断条件,让x与最接近25且小于25的7的倍数相比。 于是判断条件可改为x > 21,于是x的取值就是1到21。 我们再通过取模运算把它映射到1-7即可。代码如下:
int Rand7() { int x; do { x = 5 * (Rand5() - 1) + Rand5(); } while(x > 21) return x%7 + 1; }
让我们把这个问题泛化一下,从特殊到一般。有两个生成随机数的函数Rand_a, Rand_b。Rand_a和Rand_b分别产生从1到a的随机数和从1到b的随机数,a,b不相等。现在让你用Rand_a实现Rand_b。
通过上文分析,我们可以得到步骤如下:
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如果a > b,进入步骤2;否则构造Rand_a2 = a * (Rand_a – 1) + Rand_a, 表示生成从1到a2 随机数的函数。如果a2 仍小于b,继教构造 Rand_a3 = a * (Rand_a2 – 1) + Rand_a…直到ak > b,这时我们得到Rand_ak , 我们记为RandA。
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步骤1中我们得到了RandA(可能是Rand_a或Rand_ak ),其中A > b, 我们用下述代码构造Randb:
// A > b int Rand_b(){ int x; do { x = RandA(); } while(x > b*(A/b)) // b*(A/b)表示最接近A且小于A的b的倍数 return x%b + 1; }
从上面一系列的分析可以发现,如果给你两个生成随机数的函数Randa和Randb, 你可以通过以下方式轻松构造Rand_ab,生成1到a*b的随机数。
Rand_ab = b * (Rand_a - 1) + Rand_b
Rand_ab = a * (Rand_b - 1) + Rand_a