牛客小白月赛6 J 洋灰三角 数学
链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/136/J
来源:牛客网
题目描述
洋灰是一种建筑材料,常用来筑桥搭建高层建筑,又称,水泥、混凝土。
WHZ有很多铸造成三角形的洋灰块,他想把这些洋灰三角按照一定的规律放到摆成一排的n个格子里,其中第i个格子放入的洋灰三角数量是前一个格子的k倍再多p个,特殊地,第一个格子里放1个。
WHZ想知道把这n个格子铺满需要多少洋灰三角。
WHZ想知道把这n个格子铺满需要多少洋灰三角。
输入描述:
第一行有3个正整数n,k,p。
输出描述:
输出一行,一个正整数,表示按照要求铺满n个格子需要多少洋灰三角,由于输出数据过大,你只需要输出答案模1000000007(1e9+7)后的结果即可。
备注:
对于100%的测试数据:
1 ≤ n ≤ 1000000000
1 ≤ k,p ≤ 1000
分析:
k=1时:
f(n)为等差数列,S(n)=n*(n-1)/2*p+n
k!=1时:
f(n) = k*f(n-1)+p
S(n)=f(1)+f(2)+...+f(n)=1+k+k^2+...+k^(n-1)+k^(n-2)*p+2*k^(n-3)*p+...+(n-2)*k*p+(n-1)*p
=(k^n-1)/(k-1)+p*(k^n-1)/(k-1)^2-p*n/(k-1)=(1+p/(k-1))*(k^n-1)/(k-1)-p*n/(k-1)
S(n)求解过程:
第一部分S1=f(1)+f(2)+...+f(n)=1+k+k^2+...+k^(n-1)是个等比数列直接用等比数列求和公式求
后面一部分S2=k^(n-2)*p+2*k^(n-3)*p+...+(n-2)*k*p=p*(k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k)
考虑求g(n)=k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k
设f(n)=k^(n-1)+k^(n-2)+...+k^2
则f'(n)=(n-1)*k^(n-2)+(n-2)*k^(n-3)+...+2*k
所以:n*f(n)/k = n*k^(n-2)+n*k^(n-3)+...+n*k
所以:n*f(n)/k-f'(n)=k^(n-2)+2*k^(n-3)+...+(n-2)*k
即 g(n)=n*f(n)/k-f'(n)
f(n)的式子为等比数列可根据等比数列求和公式得出,f'(n)为f(n)的求导式
最后一部分:(n-1)*p
三部分相加就是S(n)的结果了
AC代码:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 | #include <map> #include <set> #include <stack> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <vector> #include <string> #include <bitset> #include <cstring> #include <iomanip> #include <iostream> #include <algorithm> #define ls (r<<1) #define rs (r<<1|1) #define debug(a) cout << #a << " " << a << endl using namespace std; typedef long long ll; const ll maxn = 1e6+10; const ll mod = 1e9+7; const double pi = acos (-1.0); const double eps = 1e-8; ll qow( ll a, ll b ) { ll ans = 1; while ( b ) { if ( b&1 ) { ans = ans*a%mod; } a = a*a%mod; b /= 2; } return ans; } int main() { ios::sync_with_stdio(0); ll n, k, p; while ( cin >> n >> k >> p ) { if ( k == 1 ) { cout << (n-1)*n/2*p+n << endl; } else { ll ans=(1+p*qow(k-1,mod-2)%mod)%mod*((qow(k,n)-1+mod)%mod)%mod*qow(k-1,mod-2)%mod; ans=(ans-p*qow(k-1,mod-2)%mod*n%mod+mod)%mod; cout << ans << endl; } } return 0; } |
彼时当年少,莫负好时光。
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