数据结构学习笔记05图 (邻接矩阵 邻接表-->BFS DFS、最短路径)

数据结构之图

图(Graph)

包含
　　一组顶点：通常用V (Vertex) 表示顶点集合
　　一组边：通常用E (Edge) 表示边的集合
　　　　边是顶点对：(v, w) ∈E ，其中v, w ∈ V
　　　　有向边<v, w> 表示从v指向w的边（单行线）
　　　　不考虑重边和自回路

无向图：边是无向边(v, w)

有向图：边是有向边<v, w>

连通：如果从V到W存在一条（无向）路径，则称V和W是连通的

连通图(Connected Graph)：如果对于图的任一两个顶点v、w∈V，v和w都是连通的，则称该图为连通图。图中任意两顶点均连通。

连通分量(Connected Component):无向图中的极大连通子图。

　　极大顶点数：再加1个顶点就不连通了
　　极大边数：包含子图中所有顶点相连的所有边

强连通：有向图中顶点V和W之间存在双向路径，则称V和W是强连通的。
强连通图：有向图中任意两顶点均强连通。
强连通分量：有向图的极大强连通子图。

路径：V到W的路径是一系列顶点{V, v1, v2, …,vn, W}的集合，其中任一对相邻的顶点间都有图中的边。路径的长度是路径中的边数（如果带权，则是所有边的权重和）。

　　　如果V到W之间的所有顶点都不同，则称简单路径
回路：起点等于终点的路径

　　

一.邻接矩阵

图的邻接矩阵存储方式就是用一个二维数组来表示。

邻接矩阵G[N][N]——N个顶点从0到N-1编号

顶点i、j有边，则G[i][j] = 1 或边的权重

　　

邻接矩阵的优点

　　直观、简单、好理解
　　方便检查任意一对顶点间是否存在边
　　方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）
　　方便计算任一顶点的“度”（从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”）
　　无向图：对应行（或列）非0元素的个数
　　有向图：对应行非0元素的个数是“出度”；对应列非0元素的个数是“入度”

邻接矩阵的缺点

　　浪费空间—— 存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素
　　　　对稠密图（特别是完全图）还是很合算的
　　　　浪费时间—— 统计稀疏图中一共有多少条边

/* ͼµÄÁÚ½Ó¾ØÕó±íʾ·¨ */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib> 
#include <queue>
using namespace std;

#define MaxVertexNum 100    /* ×î´ó¶¥µãÊýÉèΪ100 */
#define INFINITY 65535        /* ÉèΪ˫×Ö½ÚÎÞ·ûºÅÕýÊýµÄ×î´óÖµ65535*/
typedef int Vertex;         /* Óö¥µãϱê±íʾ¶¥µã,ΪÕûÐÍ */
typedef int WeightType;        /* ±ßµÄȨֵÉèΪÕûÐÍ */
typedef char DataType;        /* ¶¥µã´æ´¢µÄÊý¾ÝÀàÐÍÉèΪ×Ö·ûÐÍ */
  
/* ±ßµÄ¶¨Òå */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
    Vertex V1, V2;      /* ÓÐÏò±ß<V1, V2> */
    WeightType Weight;  /* ȨÖØ */
};
typedef PtrToENode Edge;
         
/* ͼ½áµãµÄ¶¨Òå */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
    int Nv;  /* ¶¥µãÊý */
    int Ne;  /* ±ßÊý   */
    WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* ÁÚ½Ó¾ØÕó */
    DataType Data[MaxVertexNum];      /* ´æ¶¥µãµÄÊý¾Ý */
    /* ×¢Ò⣺ºÜ¶àÇé¿öÏ£¬¶¥µãÎÞÊý¾Ý£¬´ËʱData[]¿ÉÒÔ²»ÓóöÏÖ */
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* ÒÔÁÚ½Ó¾ØÕó´æ´¢µÄͼÀàÐÍ */
bool Visited[MaxVertexNum] = {false};

MGraph CreateGraph( int VertexNum );
void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E );
MGraph BuildGraph();
bool IsEdge( MGraph Graph, Vertex V, Vertex W );
void InitVisited();
Vertex BFS ( MGraph Graph, Vertex S, void (*Visit)(Vertex) );
Vertex DFS ( MGraph Graph, Vertex S, void (*Visit)(Vertex) );
Vertex listDFS( MGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) );
void DFSListComponents( MGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) );
void BFSListComponents( MGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) ); 

MGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* ³õʼ»¯Ò»¸öÓÐVertexNum¸ö¶¥µãµ«Ã»ÓбߵÄͼ */
    Vertex V, W;
    MGraph Graph;
      
    Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* ½¨Á¢Í¼ */
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    /* ³õʼ»¯ÁÚ½Ó¾ØÕó */
    /* ×¢Ò⣺ÕâÀïĬÈ϶¥µã±àºÅ´Ó0¿ªÊ¼£¬µ½(Graph->Nv - 1) */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        for (W=0; W<Graph->Nv; W++)  
            Graph->G[V][W] = INFINITY;
              
    return Graph; 
}
         
void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )
{
     /* ²åÈë±ß <V1, V2> */
     Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;    
     /* ÈôÊÇÎÞÏòͼ£¬»¹Òª²åÈë±ß<V2, V1> */
     Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}
  
MGraph BuildGraph()
{
    MGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv, i;
      
    scanf("%d", &Nv);   /* ¶ÁÈ붥µã¸öÊý */
    Graph = CreateGraph(Nv); /* ³õʼ»¯ÓÐNv¸ö¶¥µãµ«Ã»ÓбߵÄͼ */ 
      
    scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* ¶ÁÈë±ßÊý */
    if ( Graph->Ne != 0 ) { /* Èç¹ûÓÐ±ß */ 
        E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* ½¨Á¢±ß½áµã */ 
        /* ¶ÁÈë±ß£¬¸ñʽΪ"Æðµã ÖÕµã ȨÖØ"£¬²åÈëÁÚ½Ó¾ØÕó */
        for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
            /* ×¢Ò⣺Èç¹ûȨÖز»ÊÇÕûÐÍ£¬WeightµÄ¶ÁÈë¸ñʽҪ¸Ä */
            InsertEdge( Graph, E );
        }
    } 
  
    /* Èç¹û¶¥µãÓÐÊý¾ÝµÄ»°£¬¶ÁÈëÊý¾Ý */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
        scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));
  
    return Graph;
}
/* ÁÚ½Ó¾ØÕó´æ´¢µÄͼ - BFS */
  
/* IsEdge(Graph, V, W)¼ì²é<V, W>ÊÇ·ñͼGraphÖеÄÒ»Ìõ±ß£¬¼´WÊÇ·ñVµÄÁڽӵ㡣  */
/* ´Ëº¯Êý¸ù¾ÝͼµÄ²»Í¬ÀàÐÍÒª×ö²»Í¬µÄʵÏÖ£¬¹Ø¼üÈ¡¾öÓÚ¶Ô²»´æÔڵıߵıíʾ·½·¨¡£*/
/* ÀýÈç¶ÔÓÐȨͼ, Èç¹û²»´æÔڵı߱»³õʼ»¯ÎªINFINITY, Ôòº¯ÊýʵÏÖÈçÏÂ:         */
bool IsEdge( MGraph Graph, Vertex V, Vertex W )
{
    return Graph->G[V][W]<INFINITY ? true : false;
}

//³õʼ»¯ Visited[] = false
void InitVisited()
{
    for(int i = 0; i < MaxVertexNum; i++)
        Visited[i] = false;
} 

void Visit(Vertex v)
{
    printf("%d ",v);
}

/* Visited[]Ϊȫ¾Ö±äÁ¿£¬ÒѾ­³õʼ»¯Îªfalse */
Vertex BFS ( MGraph Graph, Vertex S, void (*Visit)(Vertex) )
{   /* ÒÔSΪ³ö·¢µã¶ÔÁÚ½Ó¾ØÕó´æ´¢µÄͼGraph½øÐÐBFSËÑË÷ */
    queue<Vertex> Q;     
    Vertex V, W;
  
    /* ·ÃÎʶ¥µãS£º´Ë´¦¿É¸ù¾Ý¾ßÌå·ÃÎÊÐèÒª¸Äд */
    Visit( S );
    Visited[S] = true; /* ±ê¼ÇSÒÑ·ÃÎÊ */
    Q.push(S); /* SÈë¶ÓÁÐ */
      
    while ( !Q.empty() ) {
        V = Q.front();
        Q.pop();      /* µ¯³öV */
        for( W=0; W < Graph->Nv; W++ ) /* ¶ÔͼÖеÄÿ¸ö¶¥µãW */
            /* ÈôWÊÇVµÄÁڽӵ㲢ÇÒδ·ÃÎʹý */
            if ( !Visited[W] && IsEdge(Graph, V, W) ) {
                /* ·ÃÎʶ¥µãW */
                Visit( W );
                Visited[W] = true; /* ±ê¼ÇWÒÑ·ÃÎÊ */
                Q.push(W); /* WÈë¶ÓÁÐ */
            }
    } /* while½áÊø*/
    //ÒÑÓà BFSListComponents( MGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) )½øÐиĽø 
//    printf("\n");
//    
//    //±éÀú Visited[]ÁгöËùÓÐBFSµÄ¶¥µã ÈôÖ»ÐèÒ»¸ö¶¥µã¿ªÊ¼µÄBFS¿ÉºöÂÔ 
//    Vertex i;
//    for(i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
//        if(Visited[i] == false)//ÕÒ³öδ±»·ÃÎʹýµÄ½áµã¼Ç¼iÖµ 
//            break;
//    }
//    if(i == Graph->Nv)
//        return 0;
//    else
//        return BFS(Graph,i,Visit);
}

/* ÒÔSΪ³ö·¢µã¶ÔÁÚ½Ó¾ØÕó´æ´¢µÄͼGraph½øÐÐDFSËÑË÷ */
Vertex DFS ( MGraph Graph, Vertex S, void (*Visit)(Vertex) )
{
    Visited[S] = true;
    Visit(S);
    for(Vertex w = 0; w < Graph->Nv; w++) {
        if( IsEdge(Graph, S, w) && Visited[w]==false) {
            DFS(Graph,w,Visit);
        }
    }    
}
//ÁгöDFSµÄËùÓж¥µã ÒÑÓÃDFSListComponents( MGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) )½øÐиĽø 
Vertex listDFS( MGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) )
{
    Vertex i;
    for(i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
        if(Visited[i] == false)//ÕÒ³öδ±»·ÃÎʹýµÄ½áµã¼Ç¼iÖµ 
            break;
    }
    if(i == Graph->Nv)
        return 0;
    DFS(Graph, i, Visit);
    printf("\n");
    
    return listDFS(Graph,Visit);
}
void DFSListComponents( MGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) )
{ 
    for(Vertex i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
        if(Visited[i] == false) {
            DFS(Graph, i, Visit);
            printf("\n");
        }
    }      
}
void BFSListComponents( MGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) )
{ 
    for(Vertex i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
        if(Visited[i] == false) {
            BFS(Graph, i, Visit);
            printf("\n");
        }
    }      
}

int main()
{
    MGraph graph;
    graph = BuildGraph();
    InitVisited(); 
    listDFS(graph,&Visit);
    InitVisited(); 
    DFSListComponents(graph,&Visit); 
    InitVisited(); 
//    BFS(graph,0,&Visit);
    BFSListComponents(graph,&Visit); 
    return 0;
} 

 

二.邻接表

G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素。

邻接表的优点
　　方便找任一顶点的所有“邻接点”
　　节约稀疏图的空间
　　需要N个头指针+ 2E个结点（每个结点至少2个域）
　　方便计算任一顶点的“度”？
　　　　对无向图：是的
　　　　对有向图：只能计算“出度”；需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边）来方便计算“入度”

邻接表的缺点

　　不方便检查任意一对顶点间是否存在边

/* 图的邻接表表示法 */ 
//build用的 头插法 尾插法遍历 出来不同 但无影响 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib> 
#include <queue>
using namespace std;

#define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */
typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */
  
/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
    Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */
    WeightType Weight;  /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;
  
/* 邻接点的定义 */
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode; 
struct AdjVNode{
    Vertex AdjV;        /* 邻接点下标 */
    WeightType Weight;  /* 边权重 */
    PtrToAdjVNode Next;    /* 指向下一个邻接点的指针 */
};
  
/* 顶点表头结点的定义 */
typedef struct Vnode{
    PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
    DataType Data;            /* 存顶点的数据 */
    /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */
} AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是邻接表类型 */
  
/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{  
    int Nv;     /* 顶点数 */
    int Ne;     /* 边数   */
    AdjList G;  /* 邻接表 */
};
typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */
bool Visited[MaxVertexNum] = {false}; 

LGraph CreateGraph( int VertexNum );
void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E );
LGraph BuildGraph();
void Visit( Vertex V );
void InitVisited();
void DFS( LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex) );
Vertex listDFS( LGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) );
int BFS( LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex) );
void DFSListComponents( LGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) );
void BFSListComponents( LGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) );
 
LGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
    Vertex V;
    LGraph Graph;
      
    Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立图 */
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    /* 初始化邻接表头指针 */
    /* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
       for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        Graph->G[V].FirstEdge = NULL;
              
    return Graph; 
}
         
void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )
{
    PtrToAdjVNode NewNode;
      
    /* 插入边 <V1, V2> */
    /* 为V2建立新的邻接点 */
    NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V2;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    /* 将V2插入V1的表头 */
    NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
    Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;
          
    /* 若是无向图，还要插入边 <V2, V1> */
    /* 为V1建立新的邻接点 */
    NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V1;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    /* 将V1插入V2的表头 */
    NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
    Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;
}
  
LGraph BuildGraph()
{
    LGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv, i;
      
    scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */
    Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ 
      
    scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */
    if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ 
        E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */ 
        /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */
        for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
            /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */
            InsertEdge( Graph, E );
        }
    } 
  
    /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
        scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));
  
    return Graph;
}

void Visit( Vertex V )
{
    printf("%d ", V);
}

//初始化 Visited[] = false
void InitVisited()
{
    for(int i = 0; i < MaxVertexNum; i++)
        Visited[i] = false;
}  

/* Visited[]为全局变量，已经初始化为false */
void DFS( LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex) )
{   /* 以V为出发点对邻接表存储的图Graph进行DFS搜索 */
    PtrToAdjVNode W;
      
    Visit( V ); /* 访问第V个顶点 */
    Visited[V] = true; /* 标记V已访问 */
  
    for( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) /* 对V的每个邻接点W->AdjV */
        if ( !Visited[W->AdjV] )    /* 若W->AdjV未被访问 */
            DFS( Graph, W->AdjV, Visit );    /* 则递归访问之 */
}
//已用InitVisited();进行改进 
Vertex listDFS( LGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) )
{
    Vertex i;
    for(i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
        if(Visited[i] == false)//找出未被访问过的结点记录i值 
            break;
    }
    if(i == Graph->Nv)
        return 0;
    DFS(Graph, i, Visit);
    printf("\n");
    return listDFS(Graph,Visit);
} 
//图不连通时 列出各连通分量 
void DFSListComponents( LGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) )
{ 
    for(Vertex i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
        if(Visited[i] == false) {
            DFS(Graph, i, Visit);
            printf("\n");
        }
    }      
}
int BFS( LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex) )
{
    queue<Vertex> Q;     
    Vertex W;
    
    Visit( V ); /* 访问第V个顶点 */
    Visited[V] = true; /* 标记V已访问 */
    Q.push(V);
    
    while( !Q.empty() ) {
        W = Q.front();
        Q.pop();
        for(PtrToAdjVNode tempV = Graph->G[W].FirstEdge; tempV; tempV=tempV->Next ) /* 对W的每个邻接点tempV->AdjV */
            if( !Visited[tempV->AdjV]) {
                Visited[tempV->AdjV] = true;
                Visit(tempV->AdjV);
                Q.push(tempV->AdjV);
            }
    }
    //已用 BFSListComponents进行改进 
//    printf("\n");
//    
//    //遍历 Visited[]列出所有BFS的顶点 若只需一个顶点开始的BFS可忽略 
//    Vertex i;
//    for(i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
//        if(Visited[i] == false)//找出未被访问过的结点记录i值 
//            break;
//    }
//    if(i == Graph->Nv)
//        return 0;
//    else
//        return BFS(Graph,i,Visit);
    return 0;
}
//图不连通时 列出各连通分量 
void BFSListComponents( LGraph Graph, void (*Visit)(Vertex) )
{ 
    for(Vertex i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
        if(Visited[i] == false) {
            BFS(Graph, i, Visit);
            printf("\n");
        }
    }      
}


int main()
{
    LGraph graph;
    graph = BuildGraph();
    InitVisited();
    listDFS(graph,&Visit);
    InitVisited();
    DFSListComponents(graph,&Visit);
    InitVisited();
//    BFS(graph, 0, &Visit);
    BFSListComponents(graph,&Visit);
    return 0;
}

 

三.BFS广度优先搜索(Breadth First Search, BFS)

运用队列，将顶点V的每个邻接点进队。(类似于树的层先遍历)

若有N个顶点、E条边，时间复杂度是

　　用邻接表存储图，有O(N+E)
　　用邻接矩阵存储图，有O(N^2)

 

四.DFS深度优先搜索索(Depth First Search, DFS)

用递归(类似于树的先序遍历)。

ListComponents 图不连通时，列出各连通分量。

若有N个顶点、E条边，时间复杂度是

　　用邻接表存储图，有O(N+E)
　　用邻接矩阵存储图，有O(N^2)

 

五.最短路径

　　两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径

　　　　第一个顶点为源点(Source)

　　　　最后一个顶点为终点(Destination)

 

单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径

无权图(无论是否有向)：按照路径长度递增（非递减）的顺序找出到各个顶点的最短路

类似于BFS，运用队列

dist[W] = S到W最短距离

dist[S] = 0;

path[W] = S到W路上经过的顶点

时间复杂度T = O(V + E)

/* dist[]和path[]全部初始化为-1 */
void Unweighted ( LGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S )
{
    queue<Vertex> Q;
    Vertex V;
    PtrToAdjVNode W;
     
    dist[S] = 0; /* 初始化源点 */
    Q.push(S);
 
    while( !Q.empty() ){
        V = Q.front();
        Q.pop();
        for ( W = Graph->G[V].FirstEdge; W; W = W->Next ) /* 对V的每个邻接点W->AdjV */
            if ( dist[W->AdjV] == -1 ) { /* 若W->AdjV未被访问过 */
                dist[W->AdjV] = dist[V] + 1; /* W->AdjV到S的距离更新 */
                path[W->AdjV] = V; /* 将V记录在S到W->AdjV的路径上 */
                Q.push(W->AdjV);
            }
    } /* while结束*/
}

 

有权图(无论是否有向):按照递增的顺序找出到各个顶点的最短路

Dijkstra 算法

　　令S={源点s + 已经确定了最短路径的顶点vi}

　　对任一未收录的顶点v，定义dist[v]为s到v的最短路径长度，但该路径仅经过S中的顶点。即路径{s-->(vi∈S)-->v}的最小长度

　　路径是按照递增（非递减）的顺序生成的，则

　　　　 真正的最短路必须只经过S中的顶点(!!!) 因为是递增的顺序生成 如果顶点w不再路径集合上 然而是最短，应该早就收录了(意会。。。)

　　　　 每次从未收录的顶点中选一个dist最小的收录（贪心）

　　　　 增加一个v进入S，可能影响另外一个w的dist值！(如果收录v使得s到w的路径变短，则s到w的路径一定经过v，并且v到w有一条边)

　　　　　　dist[w] = min{dist[w], dist[v] + <v,w>的权重}

　白话算法：

　每次找到dist最小的值，即第一次找到S和第二个顶点dist最小的那个，　　　　          比较更新该顶点未访问过的邻接点的dist　　　　       　　　　　　　　　　              然后一直找dist最小的

 

　　

　　不能有负值圈

 

图只更新dist[]中的值 不改变邻接矩阵的值！

/* 邻接矩阵存储 - 有权图的单源最短路算法 */
Vertex FindMinDist( MGraph Graph, int dist[], int collected[] )
{ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
    Vertex MinV, V;
    int MinDist = INFINITY;
 
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
        if ( collected[V]==false && dist[V] < MinDist) {
            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */
            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */
            MinV = V; /* 更新对应顶点 */
        }
    }
    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */
    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回错误标记 */
}
 
bool Dijkstra( MGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S )
{
    int collected[MaxVertexNum];
    Vertex V, W;
 
    /* 初始化：此处默认邻接矩阵中不存在的边用INFINITY表示 */
    for ( V=0; V < Graph->Nv; V++ ) {
        dist[V] = Graph->G[S][V];
        path[V] = -1;
        collected[V] = false;
    }
    /* 先将起点收入集合 */
    dist[S] = 0;
    collected[S] = true;
 
    while (1) {
        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
        V = FindMinDist( Graph, dist, collected );
        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
            break;      /* 算法结束 */
        collected[V] = true;  /* 收录V */
        for( W = 0; W < Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
            if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
                if ( Graph->G[V][W]<0 ) /* 若有负边 */
                    return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */
                /* 若收录V使得dist[W]变小 */
                if ( dist[V]+Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
                    dist[W] = dist[V] + Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                    path[W] = V; /* 更新S到W的路径 */
                }
            }
    } /* while结束*/
    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */
}

关于找最小dist

　　①直接扫描所有未收录顶点-O(V)

　　　　T=O(V^2+E)   --->对于稠密图效果好

　　②将dist存在最小堆中-O(logV)

　　　　更新dist(W)的值-O(logV)

　　　　T = O(VlogV+ElogV) = O(ElogV)    --->对于稠稀疏图效果好

 

多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径

方法一：直接将单源最短路算法调用V遍

　　　　T = O(V^3 + E*V)   --->对于稀疏图效果好

方法二：Floyd算法　　--->对于稠密图效果好

　　　　T = O(V^3)

Floyd 算法

　　Dk[i][j] = 路径{ i -> { l ≤ k } -> j }的最小长度

　　D0, D1, …, D|V|-1[i][j]即给出了i到j的真正最短距离

　　最初的D-1是邻接矩阵

　　当Dk-1已经完成，递推到Dk时：

　　　　或者k ∉最短路径{ i -> { l ≤ k } -> j }，则Dk = Dk-1

　　　　或者k ∈最短路径{ i -> { l ≤ k } -> j }，则该路径必定由两段最短路径组成： Dk[i][j]=Dk-1[i][k]+Dk-1[k][j]

/* 邻接矩阵存储 - 多源最短路算法 */
 
bool Floyd( MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex path[][MaxVertexNum] )
{
    Vertex i, j, k;
 
    /* 初始化 */
    for ( i=0; i<Graph->Nv; i++ )
        for( j=0; j<Graph->Nv; j++ ) {
            D[i][j] = Graph->G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }
 
    for( k=0; k<Graph->Nv; k++ )
        for( i=0; i<Graph->Nv; i++ )
            for( j=0; j<Graph->Nv; j++ )
                if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] ) {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                    if ( i==j && D[i][j]<0 ) /* 若发现负值圈 */
                        return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */
                    path[i][j] = k;
                }
    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */
}