MATLAB-离散系统的数字PID控制仿真

%PID Controller
clear all;
close all;

ts=0.001;        %采样时间=0.001s 
sys=tf(5.235e005,[1,87.35,1.047e004,0]);  %建立被控对象传递函数
dsys=c2d(sys,ts,'z');                  %把传递函数离散化
[num,den]=tfdata(dsys,'v');       %  离散化后提取分子、分母

u_1=0.0;u_2=0.0;u_3=0.0;         %输入向量 的初始状态
y_1=0.0;y_2=0.0;y_3=0.0;         %输出的初始状态
x=[0,0,0]';      %PID的3个参数Kp Ki Kd组成的数组
error_1=0;                    %初始误差 
for k=1:1:500
time(k)=k*ts;           % 仿真时间500ms
   
S=3;
if S==1
    kp=0.50;ki=0.001;kd=0.001;          
    yd(k)=1;                       %Step Signal 指令为阶跃信号
elseif S==2
    kp=0.50;ki=0.001;kd=0.001;          
    yd(k)=sign(sin(2*2*pi*k*ts));  %Square Wave Signal  指令为方波信号
elseif S==3
    kp=1.5;ki=1.0;kd=0.01;          %Sine Signal   指令为正弦信号
    yd(k)=0.5*sin(2*2*pi*k*ts);           
end

u(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3);   %PID Controller   
%Restricting the output of controller   ％限制控制器的输出
if u(k)>=10       
   u(k)=10;
end
if u(k)<=-10
   u(k)=-10;
end
%Linear model
y(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+num(3)*u_2+num(4)*u_3;

error(k)=yd(k)-y(k);

%Return of parameters  %返回pid参数 
u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);
y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=y(k);
   
x(1)=error(k);                %Calculating P
x(2)=(error(k)-error_1)/ts;   %Calculating D
x(3)=x(3)+error(k)*ts;        %Calculating I

error_1=error(k);
end
figure(1);
plot(time,yd,'r',time,y,'k:','linewidth',2);
xlabel('time(s)');ylabel('yd,y');
legend('Ideal position signal','Position tracking');

ts=0.001;采样时间=0.001s
sys=tf(400,[1,50,0]);建立被控对象传递函数
dsys=c2d(sys,ts,'z');把传递函数离散化（问题1）
[num,den]=tfdata(dsys,'v');离散化后提取分子、分母

rin=1.0;输入为阶跃信号
u_1=0.0; u_2=0.0; 什么东西的初始状态（问题2）
y_1=0.0; y_2=0.0; 是不是输出的初始状态
error_1=0;初始误差
x=[0 0 0]';PID的3个参数Kp Ki Kd组成的数组
p=100;仿真时间100ms

for k=1:1:p
r(k)=rin;
u(k)=kpidi(1)*x(1)+kpidi(2)*x(2)+kpidi(3)*x(3)

if u(k)>=10
u(k)=10;
end

if u(k)<=-10
u(k)=-10;
end

yout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2+num(2)*u_1+num(3)*u_2;（问题3）
error(k)=r(k)-yout(k);

%返回pid参数
u_2=u_1;u_1=u(k);
y_2=y_1;y_1=yout(k);

x(1)=error(k);
x(2)=(error(k)-error_1)/ts;
x(3)=x(3)+error(k)*ts;

error_2=error_1;
error_1=error(k);
end
问题1：把传递函数离散化[SYSD,G]=C2D(SYSC,Ts,METHOD)这里面的method有好多种，而且用的method不一样得出的结果也不一样，这些参数究竟有什么区别？
问题2：这些是不是PID控制器输出的初始状态，“rin--①--PID控制器--②--被控对象--③---”是不是就是上面②的地方的信号值？
问题3（关键问题）：这个式子是怎么得出来的？从传递函数得出差分方程是个什么步骤，要具体点的或者给本参考书。
又如：在《先进PID控制MATLAB仿真（第二版）》P146有 被控对象G(s)=133/(s^2+25s)，采样时间为1ms，采用z变换进行离散化，经过z变换后的离散化对象为yout(k)＝-den(2)yout(k-1)—den(3)yout(k-2)十num(2)u(k-1)+num(3)u(k-2)（实在是搞不明白怎么来的）
问题4：不是线性的对象可不可以写成差分方程的形式，比如G(s)=20e^(-0.02s)/(1.6s^2+4.4s+1)带了个纯延迟的该怎么弄。或者换成个3阶对象怎么写成差分方程
最佳答案
1、c2d：假设在输入端有一个零阶保持器，把连续时间的状态空间模型转到离散时间状态空间模型。
[SYSD,G]=C2D(SYSC,Ts,METHOD)里面的method包括：
zoh 零阶保持， 假设控制输入在采样周期内为常值，为默认值。
foh 一阶保持器，假设控制输入在采样周期内为线性。 tustin 采用双线性逼近。
matched 采用SISO系统的零极点匹配法
2、只有U_1是2处的初始状态值，而U_2是用来传递U(k)的，所以U_2是U_1在下一个ts时间内的值
3、从差分方程获取传递函数：
y(k)+a1y(k-1)+……+any(k-n)=b0x(k)+b1x(k-1)+……+bmx(k-m)在零初始条件下对，对方程两边进行Z变换，得到该系统的脉冲传递函数G(Z)=Y(Z)/X(Z)=[b0z^m+b1z^(m-1)+……+bm]z^n/[z^n+a1z^(n-1)+……an]z^m 其中m《n
或等效形式G(Z)=Y(Z)/X(Z)=[b0+b1z^(-1)+……+bmz^(-m)]/[1+a1z^(-1)+……anz^(-n)] 其中m《n

从脉冲传递函数到差分方程
G(Z)=Y(Z)/X(Z)=[b0+b1z^(-1)+……+bmz^(-m)]/[1+a1z^(-1)+……anz^(-n)] 其中m《n,交叉相乘得Y(Z)[1+a1z^(-1)+……anz^(-n)]=X(Z)[b0+b1z^(-1)+……+bmz^(-m)]对X(z)和Y(z)进行z逆变换得到差分方程y(k)+a1y(k-1)+……+any(k-n)=b0x(k)+b1x(k-1)+……+bmx(k-m)
http://218.6.168.52/wlxt/ncourse/jsjkzjs/web/ppt/ch4.files/frame.htm
4、纯延迟系统G(s)=20e^(-0.02s)/(1.6s^2+4.4s+1)
num=[20];
den=[1.6 4.4 1];
sys=tf(num,den,'inputdelay',0.02)