阿里的一道笔试题

5、在黑板上写下50个数字：1至50.在接下来的49轮操作中，每次做如下动作：选取两个黑板上的数字a和b，擦去，在黑板上写|b - a|。请问最后一次动作之后剩下数字可能是什么？为什么？

 

我的解答：

　　结果显然是[0, 50]内的整数，不再详述

　　

　　第一步：奇偶分析，证明结果不可能为偶数

　　　　有以下三种操作：

　　　　1. | 奇 - 偶 | = 奇

　　　　2. | 偶 - 偶 | = 偶

　　　　3. | 奇 - 奇 | = 偶

　　　　也就是说每次操作减少0个或者2个奇数。

　　　　而原有 1,3,5,…,49 共25个奇数

　　　　所以以上操作知道剩余一个数时，此数必为奇数

 

　　第二步：构造所有奇数的解

　　　　首先注意到对于 a, a+1, b, b+1 四个数，在操作

　　　　| (a+1) - a | = 1

　　　　| (b+1) - b | = 1

　　　　| 1 - 1 | = 0

　　　　后，化为了0

　　　　而0与任意数k执行以上操作 | k - 0 | = k，无影响。

　　　　总结为自然语言就是“两个连续整数对，可以直接忽略”。

　　　　更进一步总结为“偶数个连续整数对，可以直接忽略”。

　　　　然后开始构造了：

　　　　　　需要得到结果2k-1，其中k=1,…,25

　　　　　　我们就先把1和2k拿出来，

　　　　　　则余下了 2,3,4,…,2k-1, 2k+1,…50

　　　　　　一共24个连续整数对，

　　　　　　根据我们刚才的结论，这是可以直接忽略的。

　　　　　　所以，得到了 | 2k - 1 | = 2k-1