关于贪心算法的经典问题（算法效率 or 动态规划）

如题，贪心算法隶属于提高算法效率的方法，也常与动态规划的思路相挂钩或一同出现。下面介绍几个经典贪心问题。（参考自刘汝佳著《算法竞赛入门经典》）。
P.S.下文皆是我一个字一个字敲出来的，绝对“童叟无欺”，哈哈。(。⌒∇⌒) 耗费了我的很多时间，所以——希望对大家有帮助啊~ (=^‸^=)

一、背包相关问题

1.最优装载问题：给出N个物体，有一定重量。请选择尽量多的物体，使总重量不超过C。
解法：只关心数量多，便把重量从小到大排序，依次选，直到装不下。

2.部分背包问题：给出N个物体，有一定重量和价值。请选择一些物体的一部分使在总重量不超过C的条件下总价值最大。
解法：关心总价值大，物体可取部分，便优先取单位重量价值较大的物体。

3.乘船问题：有N个人，有一定重量。每艘船的最大载重量均为C，且最多载2人。请用最少的船装载所有人。
解法：关心数量少，要尽量使每艘船的实际载重量尽量接近于最大载重量。便把重量从小到大排序，每艘船依次先载一个人，再载重量最接近船的剩余可载重量的人。这样可以使眼前的消费（剩余载重量）最少。
实现：用2个变量 l , r 分别从两头往中间移动，l 和 r 可共乘一艘船，或 r 自己乘一艘船。

 

二、区间相关问题

1.选择不相交区间：数轴上有N个开区间(Li,Ri)，请选择尽量多个区间，并保证这些区间两两没有公共点。
解法：先把这些区间按找 Ri 从小到大的顺序排序，再对按序排列的每2个区间A,B分情况讨论：(1)A被B包含，选A最优；(2)A右边的一部分与B左边的一部分相交，选A最优，因为选A比B减少了与后面区间相交的可能性；(3)A、B不相交，便2个都选。总的来说就是排序后，从左到右选第一个没有与前面已选的区间相交的区间。O(n)。
拓展：那么如果可以一共覆盖两次，那该怎么选？         ——也就是【bzoj3433】{Usaco2014 Jan}Recording the Moolympics（算法效率--贪心）。

2.区间选点问题：数轴上有N个闭区间[Li,Ri]，请选择尽量少的点，使得每个区间内都至少有一个点。
解法：同样地先把这些区间按找 Ri 从小到大的顺序排序，再分类讨论：(1)A被B包含，不需理会B； P.S.没有明显的思路就暂时不推到具体选哪一个点 （≡・ x ・≡） (2)A右边的一部分与B左边的一部分相交，当拓展到3个或以上都有一部分重叠时，肯定选第一个区间的右端点，以使这个点处于更多的区间内；(3)A、B不相交，便各自随意填一个点。总的来说就是排序后，从左到右选第一个没有与前面已选的区间相交的区间的右端点。O(n)。

3.区间覆盖问题问题：数轴上有N个闭区间[Li,Ri]，选择尽量少的区间覆盖一条指定线段[s,t]。
实现：先预处理一遍把线段外的区间的所有部分去掉，然后按 Li 从小到大的顺序排序，选当前 Ri 最大的。再选剩下的起点在刚选完的区间的右端点之前的右端点最右的区间。O(n)。

 

三、Huffman编码

最优编码问题：给出N个字符的频率 ci ，给每个字符赋予一个01编码串，使得任意一个字符的编码不是另一个字符编码的前缀，而且编码后总长度（每个字符的频率与编码长度乘积的总和）尽量小。

解法：
   Step 1.从01串，转换为构造一棵最优的编码树，左孩子是0，右孩子是1。而由于是编码，不能其中一个是另一个的前缀，便所有的字符都是叶子结点，不存在任一个是另一个的祖先，且要最优便不会叶子结点不是一个编码。。。
   Step 2.转换问题之后便用Huffman算法就可以了。∠※  把每个字符看作一个单结点子树放在一个树集合中，每棵子树的权值等于相应字符的频率。每次取权值最小的两棵子树合并成一棵新树，并重新放到集合中。新树的权值等于两棵子树权值之和。可以通过2个结论证明其正确性：1.贪心选择性质，使得第一步贪心法选择保留最优解。设x和y是频率最小的两个字符，则存在前缀码使得x和y具有相同码长，且仅有最后一位编码不同；2.最优子结构性质，使得原问题的最优解包含子问题的最优解。设 x 和 y 是有相同父亲结点 z 的两个叶子结点，那么把它们两个去掉，而留下 z 的最优编码树不会变。即——通过确定“”就知道这个算法是正确的啦。

实现：先按照频率把所有字符排序为一个队列P，再建一个队列Q存新的结点。先合并P最前面的2个结点后把新结点放在另一个队列Q，删除这2个结点。由于两个队列都是有序的，就可以接着从P最前面的2个结点后Q的前2个结点中选出2个频率最小的结点合并，新结点同样放在另一个队列，知道队列P为空。所以总时间复杂度是O(n log n+n)≈O(n log n)。我之前打过一道运用了这个知识点的题——【uva 10954】Add All（算法效率--Huffman编码+优先队列）