一般图最大匹配带花树
参考博客:http://blog.sina.com.cn/s/blog_95ec9e7401018bga.html
https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6858508.html
用Dinic实现的二分图匹配的时间复杂度其实是O(M*N^0.5),这也许能够解释为什么一般网络流算法比Hungry要快了。
另外,带花树算法的正确性的证明比较困难;而其时间复杂度是可以做到O(M*N^0.5)的
简述一下“带花树”算法吧:
它的核心思想还是找增广路。假设已经匹配好了一堆点,我们从一个没有匹配的节点s开始,使用BFS生成搜索树。每当发现一个节点u,如果u还没有被匹配,那么就可以进行一次成功的增广;否则,我们就把节点u和它的配偶v一同接到树上,之后把v丢进队列继续搜索。我们给每个在搜索树上的点一个类型:S或者T。当u把它的配偶v扔进队列的时候,我们把u标记为T型,v标记为S型。于是,搜索树的样子是这样的:
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1633695/201909/1633695-20190907211618386-179209791.png)
其中,黑色竖线相连的两个点是已经匹配好的,蓝色斜线表示两个点之间有边,但是没有配对。T型的用红色,S型的用黑色。
这里有个小问题:一个S型点d在某一步扩展的时候发现了点u,如果u已经在搜索树上了(即,出现了环),怎么办?
我们规定,如果u的类型是T型,就无视这次发现;(这意味着我们找到了一个长度为偶数的环,直接无视)
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1633695/201909/1633695-20190907211657354-2037024519.png)
如果连出来的边是指向T型点的,就无视这个边。否则,我们找到了一个长度为奇数的环,就要进行一次“缩花”的操作!所谓缩花操作,就是把这个环缩成一个点。
这个图缩花之后变成了5个点(一个大点,或者叫一朵花,加原来的4个点):
缩点完成之后,还要把原来环里面的T型点统统变成S型点,之后扔到队列里去。
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1633695/201909/1633695-20190907211757905-2108121836.png)
为什么能缩成一个点呢?我们看一个长度为奇数的环(例如上图中的s-b-d-j-f-c-a-),如果我们能够给它中的任意一个点找一个出度(配偶),那么环中的其他点正好可以配成对,这说明,每个点的出度都是等效的。例如,假设我们能够给图中的点d另找一个配偶(例如d'好了),那么,环中的剩下6个点正好能配成3对,一个不多,一个不少(算上d和d'一共4对刚刚好)。
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1633695/201909/1633695-20190907211850405-593012268.png)
这就是我们缩点的思想来源。有一个劳苦功高的计算机科学家证明了:缩点之前和缩点之后的图是否有增广路的情况是相同的。
缩起来的点又叫一朵花(blossom).
注意到,组成一朵花的里面可能嵌套着更小的花。
当我们最终找到一条增广路的时候,要把嵌套着的花层层展开,还原出原图上的增广路出来。
嗯,现在你对实现这个算法有任何想法吗?
天啊,还要缩点……写死谁。。。。。。
我一开始也是这么想的。
我看了一眼网上某个大牛的程序,之后结合自己的想法,很努力地写出了一个能AC的版本。
实现的要点有什么呢?
首先,我们不“显式”地表示花。我们记录一个Next数组,表示最终增广的时候的路径上的后继。同时,我们维护一个并查集,表示每个点现在在以哪个点为根的花里(一个花被缩进另一朵花之后就不算花了)。还要记录每个点的标记。
主程序是一段BFS。对于每个由x发展出来的点y,分4种情况讨论:
1。xy是配偶(不说夫妻,这是非二分图。。。)或者xy现在是一个点(在一朵花里):直接无视
2。y是T型点:直接无视
3。y目前单身:太好了,进行增广!
4。y是一个S型点:缩点!缩点!
缩点的时候要进行的工作:
1。找x和y的LCA(的根)p。找LCA可以用各种方法。。。直接朴素也行。
2。在Next数组中把x和y接起来(表示它们形成环了!)
3。从x、y分别走到p,修改并查集使得它们都变成一家人,同时沿路把Next数组接起来。
Next数组很奇妙。每时每刻,它实际形成了若干个挂在一起的双向链表来表示一朵花内部的走法。
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1633695/201909/1633695-20190907211910357-1235051014.png)
下面以uoj79,给出一般图匹配模板
代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<cstdio> 2 #include<cctype> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 int read() { 7 int x=0,f=1; 8 char c=getchar(); 9 for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1; 10 for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; 11 return x*f; 12 } 13 const int maxn=505; 14 const int maxm=maxn*maxn*2; 15 int n,m,que[maxm],ql,qr,pre[maxn],tim=0; 16 struct edge { 17 int v,nxt; 18 } e[maxm]; 19 int h[maxn],tot=0; 20 int match[maxn],f[maxn],tp[maxn],tic[maxn]; 21 int find(int x) { 22 return f[x]==x?f[x]:f[x]=find(f[x]); 23 } 24 void add(int u,int v) { 25 e[++tot]=(edge){v,h[u]}; 26 h[u]=tot; 27 } 28 int lca(int x,int y) { 29 for (++tim;;swap(x,y)) if (x) { 30 x=find(x); 31 if (tic[x]==tim) return x; else tic[x]=tim,x=pre[match[x]]; 32 } 33 } 34 void shrink(int x,int y,int p) { 35 while (find(x)!=p) { 36 pre[x]=y,y=match[x]; 37 if (tp[y]==2) tp[y]=1,que[++qr]=y; 38 if (find(x)==x) f[x]=p; 39 if (find(y)==y) f[y]=p; 40 x=pre[y]; 41 } 42 } 43 bool aug(int s) { 44 for (int i=1;i<=n;++i) f[i]=i; 45 memset(tp,0,sizeof tp),memset(pre,0,sizeof pre); 46 tp[que[ql=qr=1]=s]=1; // 1: type A ; 2: type B 47 int t=0; 48 while (ql<=qr) { 49 int x=que[ql++]; 50 for (int i=h[x],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v) { 51 if (find(v)==find(x) || tp[v]==2) continue; 52 if (!tp[v]) { 53 tp[v]=2,pre[v]=x; 54 if (!match[v]) { 55 for (int now=v,last,tmp;now;now=last) { 56 last=match[tmp=pre[now]]; 57 match[now]=tmp,match[tmp]=now; 58 } 59 return true; 60 } 61 tp[match[v]]=1,que[++qr]=match[v]; 62 } else if (tp[v]==1) { 63 int l=lca(x,v); 64 shrink(x,v,l); 65 shrink(v,x,l); 66 } 67 } 68 } 69 return false; 70 } 71 int main() { 72 #ifndef ONLINE_JUDGE 73 freopen("test.in","r",stdin); 74 freopen("my.out","w",stdout); 75 #endif 76 n=read(),m=read(); 77 for (int i=1;i<=m;++i) { 78 int x=read(),y=read(); 79 add(x,y),add(y,x); 80 } 81 int ans=0; 82 for (int i=1;i<=n;++i) ans+=(!match[i] && aug(i)); 83 printf("%d\n",ans); 84 for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",match[i]); 85 puts(""); 86 return 0; 87 }