Machine Learning in Action(4) Logistic Regression
从这节算是开始进入“正规”的机器学习了吧，之所以“正规”因为它开始要建立价值函数（cost function），接着优化价值函数求出权重，然后测试验证。这整套的流程是机器学习必经环节。今天要学习的话题是逻辑回归，逻辑回归也是一种有监督学习方法（supervised machine learning）。逻辑回归一般用来做预测，也可以用来做分类，预测是某个类别^.^！线性回归想比大家都不陌生了，y=kx+b,给定一堆数据点，拟合出k和b的值就行了，下次给定X时，就可以计算出y,这就是回归。而逻辑回归跟这个有点区别，它是一种非线性函数，拟合功能颇为强大，而且它是连续函数，可以对其求导，这点很重要，如果一个函数不可求导，那它在机器学习用起来很麻烦，早期的海维赛德（Heaviside）阶梯函数就因此被sigmoid函数取代，因为可导意味着我们可以很快找到其极值点，这就是优化方法的重要思想之一：利用求导，得到梯度，然后用梯度下降法更新参数。
下面来看看逻辑回归的sigmoid函数，如（图一）所示：
（图一）
（图一）中上图是sigmoid函数在定义域[-5,5] 上的形状，而下图是在定义域[-60,60]上的形状，由这两个图可以看出，它比较适合做二类的回归，因为严重两级分化。Sigmoid函数的如（公式一）所示：
（公式一）
现在有了二类回归函数模型，就可以把特征映射到这个模型上了，而且sigmoid函数的自变量只有一个Z，假设我们的特征为X=[x0,x1,x2…xn]。令
，当给定大批的训练样本特征X时，我们只要找到合适的W=[w0,w1,w2…wn]来正确的把每个样本特征X映射到sigmoid函数的两级上，也就是说正确的完成了类别回归就行了，那么以后来个测试样本，只要和权重相乘后，带入sigmoid函数计算出的值就是预测值啦，很简单是吧。那怎么求权重W呢？
要计算W，就要进入优化求解阶段咯，用的方法是梯度下降法或者随机梯度下降法。说到梯度下降，梯度下降一般对什么求梯度呢？梯度是一个函数上升最快的方向，沿着梯度方向我们可以很快找到极值点。我们找什么极值？仔细想想，当然是找训练模型的误差极值，当模型预测值和训练样本给出的正确值之间的误差和最小时，模型参数就是我们要求的。当然误差最小有可能导致过拟合，这个以后再说。我们先建立模型训练误差价值函数（cost function），如（公式二）所示：
（公式二）
（公式二）中Y表示训练样本真实值，当J（theta）最小时的所得的theta就是我们要求的模型权重，可以看出J(theta)是个凸函数，得到的最小值也是全局最小。对其求导后得出梯度，如（公式三）所示：
（公式三）
由于我们是找极小值，而梯度方向是极大值方向，因此我们取负号，沿着负梯度方向更新参数，如（公式四）所示：
（公式四）
按照（公式四）的参数更新方法，当权重不再变化时，我们就宣称找到了极值点，此时的权重也是我们要求的，整个参数更新示意图如（图二）所示：
（图二）
原理到此为止逻辑回归基本就说完了，下面进入代码实战阶段：
1 from numpy import * 2 3 def loadDataSet(): 4 dataMat = []; labelMat = [] 5 fr = open('testSet.txt') 6 for line in fr.readlines(): 7 lineArr = line.strip().split() 8 dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) 9 labelMat.append(int(lineArr[2])) 10 return dataMat,labelMat 11 12 def sigmoid(inX): 13 return 1.0/(1+exp(-inX))
上面两个函数分别是加载训练集和定义sigmoid函数，都比较简单。下面发出梯度下降的代码：
1 def gradAscent(dataMatIn, classLabels): 2 dataMatrix = mat(dataMatIn) #convert to NumPy matrix 3 labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix 4 m,n = shape(dataMatrix) 5 alpha = 0.001 6 maxCycles = 500 7 weights = ones((n,1)) 8 for k in range(maxCycles): #heavy on matrix operations 9 h = sigmoid(dataMatrix*weights) #matrix mult 10 error = (labelMat - h) #vector subtraction 11 weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #matrix mult 12 return weights
梯度下降输入训练集和对应标签，接着就是迭代跟新参数，计算梯度，然后更新参数，注意倒数第二句就是按照（公式三）和（公式四）来更新参数。
为了直观的看到我们得到的权重是否正确的，我们把权重和样本打印出来，下面是相关打印代码：
1 def plotBestFit(weights): 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 dataMat,labelMat=loadDataSet() 4 dataArr = array(dataMat) 5 n = shape(dataArr)[0] 6 xcord1 = []; ycord1 = [] 7 xcord2 = []; ycord2 = [] 8 for i in range(n): 9 if int(labelMat[i])== 1: 10 xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2]) 11 else: 12 xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2]) 13 fig = plt.figure() 14 ax = fig.add_subplot(111) 15 ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s') 16 ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green') 17 x = arange(-3.0, 3.0, 0.1) 18 y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2] 19 ax.plot(x, y) 20 plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2'); 21 plt.show()
打印的效果图如（图三）所示：
（图三）
可以看出效果蛮不错的，小错误是难免的，如果训练集没有错误反而危险，说到这基本就说完了，但是考虑到这个方法对少量样本（几百的）还行，在实际中当遇到10亿数量级时，而且特征维数上千时，这种方法很恐怖，光计算梯度就要消耗大量时间，因此要使用随机梯度下降方法。随机梯度下降算法和梯度下降算法原理一样，只是计算梯度不再使用所有样本，而是使用一个或者一小批来计算梯度，这样可以减少计算代价，虽然权重更新的路径很曲折，但最终也会收敛的，如（图四）所示
（图四）
下面也发出随机梯度下降的代码：
1 def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150): 2 m,n = shape(dataMatrix) 3 weights = ones(n) #initialize to all ones 4 for j in range(numIter): 5 dataIndex = range(m) 6 for i in range(m): 7 alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001 #apha decreases with iteration, does not 8 randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant 9 h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights)) 10 error = classLabels[randIndex] - h 11 weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex] 12 del(dataIndex[randIndex]) 13 return weights
最后也给出一个分类的代码，只要把阈值设为0.5，大于0.5划为一类，小于0.5划为另一类就行了，代码如下：
1 def classifyVector(inX, weights): 2 prob = sigmoid(sum(inX*weights)) 3 if prob > 0.5: return 1.0 4 else: return 0.0
总结：
优点：计算量不高，容易实现，对现实数据也很容易描述
缺点：很容易欠拟合，精度可能也会不高
以上内容来至朋友博客http://blog.csdn.net/marvin521/article/details/9263483
Ps:Logistic Regression是一种很经典很经典的分类方法，建立一个损失函数，套一个优化方法(梯度下降，随机梯度下降，共轭梯度，bfgs等)不断优化得到特征的W
。应用随机梯度优化方法的时候，如果数据属性有缺失的话，可以直接置0就好了，不影响W的优化。记得有位学者的文章详尽对比了Logistic Regression在不同优化方法的Performance，并提供了Matlab的toolbox，在应用中通常要对Logistic Regression的Loss Function加一个L1/L2的正则项约束。Mahout有该算法的并行实现，以前也用过GPU做了下给予共轭梯度的Logistic Regression的实现。
