总结排列组合在OI中的应用

排列组合的思想是每一位OIer都必须掌握的技能，并且不仅要掌握高中课本所学的内容，更应该学会用递推的思想解决一些我们现在的知识不能直接解决的排列组合的问题。接下来是几个不同的经典“盒子与球”问题。

 e.g 1：有m个相同的球,n个不同的盒子，将球放入盒子中且不允许有空的方法为多少？

 解答：采用高中数学的插板法即可解决。总方法数为C(m-1,n-1)。

 e.g 2：主干与例1相同，只是改为允许有空。

 解答：将m个球上加上n个球，问题即变为m+n个球放入n个盒子且不允许盒子有空的方法。注意这里的化归思想。

 e.g 3：将m个不同的球放入n个相同的盒子且不允许有空的方法？

 解答：适用于第二类斯特林数。令f[i][j]为前i个盒子放入j个球的总方法数。则当前j-1个球都放入前i-1个盒子中时，有f[i-1][j-1]种放法，当前j-1个球放入前i个盒子时，则第j个球共有i种放法，这里又有i*f[i][j-1]种放法，所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+i*f[i][j-1]。

 e.g 4：将m个不同的球放入n个相同的盒子且允许有空的方法？

 解答：逐一枚举有几个盒子有空，转化为例三的问题类型，将每个结果相加即可。

 e.g 5：将m个相同的球放入n个相同的盒子中且不允许有空的方法？

 解答：令f[i][j]为i个球放入j个盒子的方法数。分为两类讨论：当某种分法出现有放一个球的盒子时，减掉，此时有f[i-1][j-1]种放法；没有1时，此种放法对应每个盒子中的球都减去一后的放法，有f[i-j][j]种放法。所以f[i][j]=f[i-j][j]+f[i-1][j-1]。

 例3到例5都揭示了递推思想在排列组合中的重要性，其实递推在整个算法界中都占有至关重要的地位。

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