面试题3：斐波那契数列与爬楼梯

题目一：实现一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

看到这个最简单想到的方法是采用递归来实现

功能函数：

long long Fibonacci(int n)
{
    if(n<0)
        return;
    if(n==0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    if(n>1)
        return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}

程序分析：

采用递归来解决这一问题，会带来严重的效率问题。比如：要求f(10)，如下图所示

可以看到，上面图示中有很多重复结点，而且重复结点会随着n的增大而急剧增加，意味着计算量也会随着n的增大而急剧增加。

针对上述递归方法的低效率，做如下改进：

思路1：可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候先查找一下，如果之前已经计算过就不用重复计算了。

思路2：可以从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，再根据f(1)和f(2)算出f(3)......依次类推，直到算出f(n)即可。

功能函数：

long long one=0;
long long two=1;
long long result=0;

long long Fibonacci(int n)
{
    int i;
    if(n<0)
        return;
    if(n==0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;

    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        result=one+two;
        one=two;
        two=result;
    }
    return result;
}

注意：如果将长整型变量one、two、result放在函数体内，变为局部变量，编译时出错。

        原因是：编译器栈空间有限 分配不了那么大的局部变量。定义在外面，即为全局变量，是存储在全局区，不在栈区

测试程序：

int main()
{
    int a,b,sum=0;

    printf("递归方法\n");
    printf("请输入一个数：");
    scanf("%d",&a);
    sum=Fibonacci_1(a);
    printf("输入的数%d的斐波那契数列的第%d项为：%d\n",a,a,sum);
    printf("\n");

    printf("非递归方法\n");
    printf("请输入一个数：");
    scanf("%d",&b);
    sum=Fibonacci_2(b);
    printf("输入的数%d的斐波那契数列的第%d项为：%d\n",b,b,sum);
    printf("\n");

    system("pause");
    return 1;
}

测试结果：

题目二：实现一个函数：一个楼梯有50个台阶，每一步可以走一个台阶，也可以走两个台阶，请问走完这个楼梯共有多少种方法？

分析：

1步台阶只有1种走法（1）

2步台阶2种(11、2）

3步台阶有3种（111、12、21）

4步台阶有5种（1111、112、121、211、22）

5步台阶有8种（11111、1112、1121、1211、122、2111、212、221）

6步台阶有13种（111111、11112、11121、11211、1122、12111,1212、1221、2111、2112、2121、2211、222）

..............

假设走完k个台阶有f(k)种走法。

k = 1时，f(k) = 1

k = 2时，f(k) = 2

k = n时，第一步走一个台阶，剩n-1个台阶，有f(n - 1)种走法。第一步走两个台阶，剩n-2个台阶，有f(n - 2)种走法。所以共有f(n - 1) + f(n - 2)种走法。

于是有如下公式:

显然此题与上题类似！