似然函数的概念

(源自:维基百科)

数理统计学中,似然函数是一种关于统计模型中的参数函数,表示模型参数中的似然性

似然函数在统计推断中有重大作用,如在最大似然估计费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近,都是指某种事件发生的可能性,但是在统计学中,“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。

概率 用于在已知一些参数的情况下,预测接下来的观测所得到的结果,而

似然性 则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物的性质的参数进行估计。

 

在这种意义上,似然函数可以理解为条件概率的逆反。

在已知某个参数B时,事件A会发生的概率写作\mathbb{P}(A \mid B)

P(A \mid B) = \frac{P(A , B)}{P(B)} \!

利用贝叶斯定理

P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B)\;P(B)}{P(A)} \!


因此,我们可以反过来构造表示似然性的方法:已知有事件A发生,运用似然函数\mathbb{L}(B \mid A),我们估计参数B的可能性。

形式上,似然函数也是一种条件概率函数,但我们关注的变量改变了:

b\mapsto P(A \mid B=b)  \!

注意到这里并不要求似然函数满足归一性:\sum_{b \in \mathcal{B}}P(A \mid B=b) = 1。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有α > 0,都可以有似然函数:

 

L(b \mid A) = \alpha \; P(A \mid B=b) \!

 

例子:

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说,已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是pH = 0.5,便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说,投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示,就是:

P(\mbox{HH} \mid p_H = 0.5) = 0.5^2 = 0.25

其中H表示正面朝上。

在统计学中,我们关心的是在已知一系列投掷的结果时,关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。我们可以建立一个统计模型:假设硬币投出时会有pH 的概率正面朝上,而有1 − pH 的概率反面朝上。这时,条件概率可以改写成似然函数:

L(p_H =  0.5 \mid \mbox{HH}) = P(\mbox{HH}\mid p_H = 0.5) =0.25

也就是说,对于取定的似然函数,在观测到两次投掷都是正面朝上时,pH = 0.5 似然性是0.25(这并不表示当观测到两次正面朝上时pH = 0.5 概率是0.25)。

如果考虑pH = 0.6,那么似然函数的值也会改变。

L(p_H = 0.6 \mid \mbox{HH}) = P(\mbox{HH}\mid p_H = 0.6) =0.36

注意到似然函数的值变大了。这说明,如果参数pH 的取值变成0.6的话,结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设pH = 0.5时更大。也就是说,参数pH 取成0.6 要比取成0.5 更有说服力,更为“合理”。总之,似然函数的重要性不是它的具体取值,而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数,如果存在一个参数值,使得它的函数值达到最大的话,那么这个值就是最为“合理”的参数值。

在这个例子中,似然函数实际上等于:

L(p_H = \theta  \mid \mbox{HH}) = P(\mbox{HH}\mid p_H = \theta) =\theta^2 , 其中0 \le p_H  \le 1

如果取pH = 1,那么似然函数达到最大值1。也就是说,当连续观测到两次正面朝上时,假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。

类似地,如果观测到的是三次投掷硬币,头两次正面朝上,第三次反面朝上,那么似然函数将会是:

L(p_H = \theta  \mid \mbox{HHT}) = P(\mbox{HHT}\mid p_H = \theta) =\theta^2(1 - \theta) , 其中T表示反面朝上,0 \le p_H  \le 1

这时候,似然函数的最大值将会在p_H = \frac{2}{3}的时候取到。也就是说,当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时,估计硬币投掷时正面朝上的概率p_H = \frac{2}{3}是最合理的。

posted on 2012-03-29 22:26  NLP新手  阅读(25057)  评论(0编辑  收藏  举报

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