【排序】排序算法之归并排序
排序算法之归并排序
排序是数据处理中经常使用的一种重要运算，在计算机及其应用系统中，花费在排序上的时间在系统运行时间中占有很大比重，其重要性勿需多言。下文将介绍常用的如下排序方法，对它们进行简单的分析和比较，并提供 C 语言实现。
所谓排序，就是要将一堆记录，使之按关键字递增(或递减)次序排列起来。根据排序所采用的策略，可以分为如下五种：
4、归并排序；
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前面讲了插入排序，交换排序，选择排序，下面接着来讲归并排序。
归并排序(Merge Sort)是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。
归并排序
基本思想：设两个有序的子序列(相当于输入序列)放在同一序列中相邻的位置上：array[low..m]，array[m + 1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存序列 temp (相当于输出序列)中，待合并完成后将 temp 复制回 array[low..high]中，从而完成排序。
在具体的合并过程中，设置 i，j 和 p 三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较 array[i] 和 array[j] 的关键字，取关键字较小（或较大）的记录复制到 temp[p] 中，然后将被复制记录的指针 i 或 j 加 1，以及指向复制位置的指针 p 加 1。重复这一过程直至两个输入的子序列有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子序列中剩余记录依次复制到 array 中即可。
下面是合并过程的 C 代码实现:
归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。
void merge(int* array, int low, int mid, int high)
{
assert(array && low >= 0 && low <= mid && mid <= high); int* temp = (int*)malloc((high - low + 1) * sizeof(int));
if (!temp) {
printf("Error:out of memory!"); return;
} int i = low; int j = mid + 1; int index = 0; while (i <= mid && j <= high) { if (array[i] <= array[j]) { temp[index++] = array[i++]; } else { temp[index++] = array[j++]; } } while (i <= mid) { temp[index++] = array[i++]; } while (j <= high) { temp[index++] = array[j++]; } memcpy((void*)(array + low), (void*)temp, (high - low + 1) * sizeof(int)) ; free(temp);
}
自底向上方法，也就是常说的二路归并排序，其基本思想是：第 1 趟排序将长度为 n 的待排序记录看作 n 个长度为 1 的有序子序列，然后将这些子序列两两合并。完成第 1 趟排序之后，将得到 lgn 个长度为 2 的有序子序列（如果 n 为奇数，则最后还有一个长度为 1 的子序列）。第 2 趟排序是在第 1 趟的排序的基础上，将这 lgn 个长度为 2 的子序列两两合并。如此反复，直到最后得到一个长度为n的有序文件为止。从这个排序过程来看，二路归并排序是从将长度为 1 的子序列排序变化到长度为 n 的有序序列，因而是自底向上的。
下面是二路归并排序的 C 代码实现：
自底向上的二路归并排序算法虽然效率较高，但可读性较差（循环实现比递归实现一般效率都要高些）。下面来看看自上而下的递归实现，其可读性要好得多。自上而下的方法是采用分治法思想，具体排序过程分成三个过程：
// 对 [0, length - 1] 做一趟归并长度为 n 的归并排序void merge_pass(int* array, int length, int n){ assert(array && length >= 1 && n >= 1); int i; int sortLength = 2 * n; // 归并长度为 n 的两个相邻子序列 for(i = 0; i + sortLength - 1 < length; i = i + sortLength) { merge(array, i, i + n - 1, i + sortLength - 1); } // 若 i + n - 1 < length - 1，则剩余一个子文件轮空，无须归并。 // 尚有两个子序列，其中后一个长度小于 n, 归并最后两个子序列。 if (length - 1 > i + n - 1) { merge(array, i, i + n - 1, length - 1); }}// 用分治法自下向上进行二路归并排序//void merge_sort(int* array, int length){ assert(array && length >= 0); int n; for(n = 1; n < length; n = (n << 1)) { merge_pass(array, length, n); }}
（1）分解：将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2;
（2）求解：递归地对两个子区间 array[low..mid] 和 array[mid + 1..high] 进行归并排序；递归的终结条件：子区间长度为 1（一个记录自然有序）。
（3）合并：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid + 1..high]归并为一个有序的区间 array[low..high]。
下面即是自上而下方法的 C 代码实现：
void merge_sort_dc_impl(int* array, int low, int high){ assert(array && low >= 0); int mid; if (low < high) { mid = (low + high) >> 1; merge_sort_dc_impl(array, low, mid); merge_sort_dc_impl(array, mid + 1, high); merge(array, low, mid, high); }}// 用分治法自上向下进行排序void merge_sort_dc(int* array, int length){ assert(array && length >= 0); merge_sort_dc_impl(array, 0, length - 1);}时间复杂度分析：
对长度为 n 的序列进行 lgn 趟二路归并，而每一趟归并的时间复杂度为 O(n)，因此归并排序的平均时间复杂度为 nlgn。
空间复杂度分析：
需要与待排记录等大的空间来存储中间变量，因为其空间复杂度为 O(n)。因此，归并排序肯定就不是就地排序了。
补充：
归并排序是稳定排序。若归并排序采用链表存储结构的话，实现起来更加高效。
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测试：
在前文《排序算法之插入排序》测试代码的基础上添加两行代码即可：
{"合并排序：自下向上二路归并", merge_sort}, {"合并排序：自上向下分治", merge_sort_dc},
运行结果如下：
=== 合并排序：自下向上二路归并 ===
original: 65 32 49 10 8 72 27 42 18 58 91
sorted: 8 10 18 27 32 42 49 58 65 72 91
original: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
sorted: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
=== 合并排序：自上向下分治 ===
original: 65 32 49 10 8 72 27 42 18 58 91
sorted: 8 10 18 27 32 42 49 58 65 72 91
original: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
sorted: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
