伸展树
一、简介：
伸展树，或者叫自适应查找树，是一种用于保存有序集合的简单高效的数据结构。伸展树实质上是一个二叉查找树。允许查找，插入，删除，删除最小，删除最大，分割，合并等许多操作，这些操作的时间复杂度为O(logN)。由于伸展树可以适应需求序列，因此他们的性能在实际应用中更优秀。
伸展树支持所有的二叉树操作。伸展树不保证最坏情况下的时间复杂度为O(logN)。伸展树的时间复杂度边界是均摊的。尽管一个单独的操作可能很耗时，但对于一个任意的操作序列，时间复杂度可以保证为O(logN)。
二、自调整和均摊分析：
平衡查找树的一些限制：
1、平衡查找树每个节点都需要保存额外的信息。
2、难于实现，因此插入和删除操作复杂度高，且是潜在的错误点。
3、对于简单的输入，性能并没有什么提高。
平衡查找树可以考虑提高性能的地方：
1、平衡查找树在最差、平均和最坏情况下的时间复杂度在本质上是相同的。
2、对一个节点的访问，如果第二次访问的时间小于第一次访问，将是非常好的事情。
3、90-10法则。在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。
4、处理好那90%的情况就很好了。
三、均摊时间边界：
在一颗二叉树中访问一个节点的时间复杂度是这个节点的深度。因此，我们可以重构树的结构，使得被经常访问的节点朝树根的方向移动。尽管这会引入额外的操作，但是经常被访问的节点被移动到了靠近根的位置，因此，对于这部分节点，我们可以很快的访问。根据上面的90-10法则，这样做可以提高性能。
为了达到上面的目的，我们需要使用一种策略──旋转到根(rotate-to-root)。具体实现如下：
旋转分为左旋和右旋，这两个是对称的。图示：
为了叙述的方便，上图的右旋叫做X绕Y右旋，左旋叫做Y绕X左旋。
下图展示了将节点3旋转到根：
图1
首先节点3绕2左旋，然后3绕节点4右旋。
注意：所查找的数据必须符合上面的90-10法则，否则性能上不升反降！！
四、基本的自底向上伸展树：
应用伸展（splaying）技术，可以得到对数均摊边界的时间复杂度。
在旋转的时候，可以分为三种情况：
1、zig情况。
X是查找路径上我们需要旋转的一个非根节点。
如果X的父节点是根，那么我们用下图所示的方法旋转X到根：
图2
这和一个普通的单旋转相同。
2、zig-zag情况。
在这种情况中，X有一个父节点P和祖父节点G（P的父节点）。X是右子节点，P是左子节点，或者反过来。这个就是双旋转。
先是X绕P左旋转，再接着X绕G右旋转。
如图所示：
图三
3、zig-zig情况。
这和前一个旋转不同。在这种情况中，X和P都是左子节点或右子节点。
先是P绕G右旋转，接着X绕P右旋转。
如图所示：
图四
下面是splay的伪代码：
P(X) : 获得X的父节点，G(X) : 获得X的祖父节点（=P(P(X))）。
Function Buttom-up-splay:
Do
If X 是 P(X) 的左子结点 Then
If G(X) 为空 Then
X 绕 P（X）右旋
Else If P（X）是G（X）的左子结点
P(X) 绕G(X)右旋
X 绕P(X)右旋
Else
X绕P(X)右旋
X绕P(X)左旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
Endif
Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
If G(X) 为空 Then
X 绕 P（X）左旋
Else If P（X）是G（X）的右子结点
P(X) 绕G(X)左旋
X 绕P(X)左旋
Else
X绕P(X)左旋
X绕P(X)右旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
Endif
Endif
While (P(X) != NULL)
EndFunction
仔细分析zig-zag，可以发现，其实zig-zag就是两次zig。因此上面的代码可以简化：
Function Buttom-up-splay:
Do
If X 是 P(X) 的左子结点 Then
If P（X）是G（X）的左子结点
P(X) 绕G(X)右旋
Endif
X 绕P(X)右旋
Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
If P（X）是G（X）的右子结点
P(X) 绕G(X)左旋
Endif
X 绕P(X)左旋
Endif
While (P(X) != NULL)
EndFunction
下面是一个例子，旋转节点c到根上。
图五
五、基本伸展树操作：
1、插入：
当一个节点插入时，伸展操作将执行。因此，新插入的节点在根上。
2、查找：
如果查找成功（找到），那么由于伸展操作，被查找的节点成为树的新根。
如果查找失败（没有），那么在查找遇到NULL之前的那个节点成为新的根。也就是，如果查找的节点在树中，那么，此时根上的节点就是距离这个节点最近的节点。
3、查找最大最小：
查找之后执行伸展。
4、删除最大最小：
a)删除最小：
首先执行查找最小的操作。
这时，要删除的节点就在根上。根据二叉查找树的特点，根没有左子节点。
使用根的右子结点作为新的根，删除旧的包含最小值的根。
b)删除最大：
首先执行查找最大的操作。
删除根，并把被删除的根的左子结点作为新的根。
5、删除：
将要删除的节点移至根。
删除根，剩下两个子树L（左子树）和R（右子树）。
使用DeleteMax查找L的最大节点，此时，L的根没有右子树。
使R成为L的根的右子树。
如下图示：
图六
六、自顶向下的伸展树：
在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：
1、zig：
图七
如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。读者可以分析一下树的结构，原因很简单。
2、zig-zig:
图八
在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3、zig-zag:
图九
在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
图十
将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。
下面给出伪代码：
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
T ： 当前的根节点。
Function Top-Down-Splay
Do
If X 小于 T Then
If X 等于 T 的左子结点 Then
右连接
ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then
T的左子节点绕T右旋
右连接
Else X大于 T 的左子结点 Then
右连接
左连接
EndIf
ElseIf X大于 T Then
IF X 等于 T 的右子结点 Then
左连接
ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then
T的右子节点绕T左旋
左连接
Else X小于 T 的右子结点‘ Then
左连接
右连接
EndIf
EndIf
While ！(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
EndFunction
同样，上面的三种情况也可以简化：
Function Top-Down-Splay
Do
If X 小于 T Then
If X 小于 T 的左孩子 Then
T的左子节点绕T右旋
EndIf
右连接
Else If X大于 T Then
If X 大于 T 的右孩子 Then
T的右子节点绕T左旋
EndIf
左连接
EndIf
While !(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
EndFuntion
下面是一个查找节点19的例子：
在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。
这个例子是查找节点c：
最后，给一个用C语言实现的例子：
1 /*
2 An implementation of top-down splaying
3 D. Sleator <sleator@cs.cmu.edu>
4 March 1992
5 */
6 #include <stdlib.h>
7 #include <stdio.h>
8 int size; /* number of nodes in the tree */
9 /* Not actually needed for any of the operations */
10 typedef struct tree_node Tree;
11 struct tree_node
12 {
13 Tree * left, * right;
14 int item;
15 };
16
17 Tree * splay (int i, Tree * t)
18 {
19 /* Simple top down splay, not requiring i to be in the tree t. */
20 /* What it does is described above. */
21 Tree N, *l, *r, *y;
22 if (t == NULL)
23 return t;
24 N.left = N.right = NULL;
25 l = r = &N;
26 for (;;)
27 {
28 if (i < t->item)
29 {
30 if (t->left == NULL)
31 {
32 break;
33 }
34 if (i < t->left->item)
35 {
36 y = t->left; /* rotate right */
37 t->left = y->right;
38 y->right = t;
39 t = y;
40 if (t->left == NULL)
41 {
42 break;
43 }
44 }
45 r->left = t; /* link right */
46 r = t;
47 t = t->left;
48 }
49 else if (i > t->item)
50 {
51 if (t->right == NULL)
52 {
53 break;
54 }
55 if (i > t->right->item)
56 {
57 y = t->right; /* rotate left */
58 t->right = y->left;
59 y->left = t;
60 t = y;
61 if (t->right == NULL)
62 {
63 break;
64 }
65 }
66 l->right = t; /* link left */
67 l = t;
68 t = t->right;
69 }
70 else
71 {
72 break;
73 }
74 }
75 l->right = t->left; /* assemble */
76 r->left = t->right;
77 t->left = N.right;
78 t->right = N.left;
79 return t;
80 }
81 /* Here is how sedgewick would have written this. */
82 /* It does the same thing. */
83 Tree * sedgewickized_splay (int i, Tree * t)
84 {
85 Tree N, *l, *r, *y;
86 if (t == NULL)
87 {
88 return t;
89 }
90 N.left = N.right = NULL;
91 l = r = &N;
92 for (;;)
93 {
94 if (i < t->item)
95 {
96 if (t->left != NULL && i < t->left->item)
97 {
98 y = t->left;
99 t->left = y->right;
100 y->right = t;
101 t = y;
102 }
103 if (t->left == NULL)
104 {
105 break;
106 }
107 r->left = t;
108 r = t;
109 t = t->left;
110 }
111 else if (i > t->item)
112 {
113 if (t->right != NULL && i > t->right->item)
114 {
115 y = t->right;
116 t->right = y->left;
117 y->left = t;
118 t = y;
119 }
120 if (t->right == NULL)
121 {
122 break;
123 }
124 l->right = t;
125 l = t;
126 t = t->right;
127 }
128 else
129 {
130 break;
131 }
132 }
133 l->right=t->left;
134 r->left=t->right;
135 t->left=N.right;
136 t->right=N.left;
137 return t;
138 }
139
140 Tree * insert(int i, Tree * t)
141 {
142 /* Insert i into the tree t, unless it's already there. */
143 /* Return a pointer to the resulting tree. */
144 Tree * new;
145
146 new = (Tree *) malloc (sizeof (Tree));
147 if (new == NULL)
148 {
149 printf("Ran out of space\n");
150 exit(1);
151 }
152 new->item = i;
153 if (t == NULL)
154 {
155 new->left = new->right = NULL;
156 size = 1;
157 return new;
158 }
159 t = splay(i,t);
160 if (i < t->item)
161 {
162 new->left = t->left;
163 new->right = t;
164 t->left = NULL;
165 size ++;
166 return new;
167 }
168 else if (i > t->item)
169 {
170 new->right = t->right;
171 new->left = t;
172 t->right = NULL;
173 size++;
174 return new;
175 }
176 else
177 {
178 /* We get here if it's already in the tree */
179 /* Don't add it again */
180 free(new);
181 return t;
182 }
183 }
184
185 Tree * delete(int i, Tree * t)
186 {
187 /* Deletes i from the tree if it's there. */
188 /* Return a pointer to the resulting tree. */
189 Tree * x;
190 if (t==NULL)
191 {
192 return NULL;
193 }
194 t = splay(i,t);
195 if (i == t->item)
196 { /* found it */
197 if (t->left == NULL)
198 {
199 x = t->right;
200 }
201 else
202 {
203 x = splay(i, t->left);
204 x->right = t->right;
205 }
206 size--;
207 free(t);
208 return x;
209 }
210 return t; /* It wasn't there */
211 }
212
213 int main(int argv, char *argc[])
214 {
215 /* A sample use of these functions. Start with the empty tree, */
216 /* insert some stuff into it, and then delete it */
217 Tree * root;
218 int i;
219 root = NULL; /* the empty tree */
220 size = 0;
221 for (i = 0; i < 1024; i++)
222 {
223 root = insert((541*i) & (1023), root);
224 }
225 printf("size = %d\n", size);
226 for (i = 0; i < 1024; i++)
227 {
228 root = delete((541*i) & (1023), root);
229 }
230 printf("size = %d\n", size);
231 }
232
233
PS:文章的参考来源以丢失。。。
