时间序列挖掘-预测算法-三次指数平滑法(Holt-Winters)
在时间序列中，我们需要基于该时间序列当前已有的数据来预测其在之后的走势，三次指数*滑(Triple/Three Order Exponential Smoothing,Holt-Winters)算法可以很好的进行时间序列的预测。
时间序列数据一般有以下几种特点：1.趋势(Trend) 2. 季节性(Seasonality)。
趋势描述的是时间序列的整体走势，比如总体上升或者总体下降。下图所示的时间序列是总体上升的：
季节性描述的是数据的周期性波动，比如以年或者周为周期，如下图：
三次指数*滑算法可以对同时含有趋势和季节性的时间序列进行预测，该算法是基于一次指数*滑和二次指数*滑算法的。
一次指数*滑算法基于以下的递推关系：
si=αxi+(1-α)si-1
其中α是*滑参数，si是之前i个数据的*滑值，取值为[0,1]，α越接*1，*滑后的值越接*当前时间的数据值，数据越不*滑，α越接*0，*滑后的值越接*前i个数据的*滑值，数据越*滑，α的值通常可以多尝试几次以达到最佳效果。
一次指数*滑算法进行预测的公式为：xi+h=si，其中i为当前最后的一个数据记录的坐标，亦即预测的时间序列为一条直线，不能反映时间序列的趋势和季节性。
二次指数*滑保留了趋势的信息，使得预测的时间序列可以包含之前数据的趋势。二次指数*滑通过添加一个新的变量t来表示*滑后的趋势：
si=αxi+(1-α)(si-1+ti-1)
ti=ß(si-si-1)+(1-ß)ti-1
二次指数*滑的预测公式为 xi+h=si+hti 二次指数*滑的预测结果是一条斜的直线。
三次指数*滑在二次指数*滑的基础上保留了季节性的信息，使得其可以预测带有季节性的时间序列。三次指数*滑添加了一个新的参数p来表示*滑后的趋势。
三次指数*滑有累加和累乘两种方法，下面是累加的三次指数*滑
si=α(xi-pi-k)+(1-α)(si-1+ti-1)
ti=ß(si-si-1)+(1-ß)ti-1
pi=γ(xi-si)+(1-γ)pi-k 其中k为周期
累加三次指数*滑的预测公式为： xi+h=si+hti+pi-k+(h mod k) 注意：数据之魅P88此处有错误，根据Wikipedia修正。
下式为累乘的三次指数*滑：
si=αxi/pi-k+(1-α)(si-1+ti-1)
ti=ß(si-si-1)+(1-ß)ti-1
pi=γxi/si+(1-γ)pi-k 其中k为周期
累乘三次指数*滑的预测公式为： xi+h=(si+hti)pi-k+(h mod k) 注意：数据之魅P88此处有错误，根据Wikipedia修正。
α，ß，γ的值都位于[0,1]之间，可以多试验几次以达到最佳效果。
s,t,p初始值的选取对于算法整体的影响不是特别大，通常的取值为s0=x0,t0=x1-x0,累加时p=0,累乘时p=1.
我们使用DataMarket的International Airline Passengers数据来测试累加和累乘三次指数*滑算法的性能，该数据记录的是每月的国际航线乘客数：
下图为使用累加三次指数*滑进行预测的效果：其中红色为源时间序列，蓝色为预测的时间序列，α，ß，γ的取值为0.45，0.2，0.95：
下图为累乘三次指数*滑进行预测的效果，α，ß，γ的取值为0.4，0.05，0.9：
可以看到三次指数*滑算法可以很好的保存时间序列数据的趋势和季节性信息，在International Airline Passengers数据集上累乘*滑指数算法的效果更好。
参考文献：
[1]. 数据之魅：基于开源工具的数据分析
