二进制取数在多重背包和母函数中的应用

hdu 2844 coins

第一题是一个关于多重背包的问题，即给定每个物品的价格和数量，在有限背包中求得可以装进背包的最大价值，一般的做法就是将多重背包转化为诺干个01背包来解决，例如某个物品有1000个，则转化为将这个物品看成1000个只有一个数量的该物品，然后运用01背包，容量反向动规求的解！可是如果某个物品的数量是1W、10W或者是100W，那么岂不是要求上W个01背包了，不超时才怪。

那么有什么好办法可以解决这样的问题呢？从上面的方法中我们看出，我们处理问题的方法是一个一个处理物品，物品有1W个，我们便处理1W次。这样做的好处是编程方便，并且把每个物品都遍历到了，不会有错。可是太慢了。如果我们不是一次取一个，而是一个取很多个，同时我们保证我们取数过程中不会出现丢三落四的情况，那不就爽歪歪了吗？

这里介绍一种办法，用来满足上面的要求。二进制取数！

假设某个物品有10个数量，我们取数的方法是先取1个，再取2个，再取4个以此类推（i=1;i<=10;i<<=1）；

也就是说，会取到1、2、4个，然后最后还会剩下3个。观察前面3个数，它们任意相加又可以组成3、5、6、7，这些数再与最后深下的3相加又可以得到8、9、10

也就是说，1到10全有了，但是我们操作的次数却从10次降低到了4次！

请看实现的代码：

for(i=0;i<m;i++) //m种物品
{
    left=num[i]; //每个物品的数量
    for(j=1;j<=left;j<<=1) //二进制取数
    {
        /*do something by yourself*/
        left-=j;
    }
    if(left)  //剩余的数
    {
        /*do something by yourself*/
    }
}

下面贴上2191题的code，权当一个例子了

View Code

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
#define max(a,b) a>b?a:b
int f[400010];
int n,m;
int p[101];
int w[101];
int b[101];

int main()
{
    int t,i,j,k,left;
    //freopen("D:\\1.txt","r",stdin);
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            cin>>p[i]>>w[i]>>b[i];
        }
        memset(f,0,(n+1)*4);
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            left=b[i];
            for(j=1;j<=left;j<<=1)
            {
                for(k=n;k>=j*p[i];k--)
                {
                    f[k]=max(f[k],f[k-j*p[i]]+j*w[i]);
                }
                left-=j;
            }
            if(left)
            {
                for(k=n;k>=left*p[i];k--)
                {
                    f[k]=max(f[k],f[k-left*p[i]]+left*w[i]);
                }
            }
        }
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}