最大化平均值
有n个物品的重量和价值各自是Wi和Vi,从中选出K个物品使得单位重量的价值最大。
最大化平均值的经典。一般最先想到可能的方法是依照单位价值排序,从大到小的进行选取,可是这种方法对于以下一组样例来说:
n=3; k=2; (w,v)=(2,2),(5,3),(2,1);则可能得出的结果是5/7=0.714。所以这种方法是要排除的。那么怎样想到最大化平均值这个方向呢?实际上,对于这个问题我们能够使用二分搜索法解决,我们定义:
条件get(mid):=能够选择使得单位重量的价值不小于mid
因此,原问题就变成了求满足get(mid)的最大mid,那么怎样推断get(mid)是否可行?如果我们选了某个物品的集合S()那么它们的单位重量的价值是;定义sum(v)为v的值的和
sum(Vi(i属于S))/sum(Wi(i属于S));因此就变成了推断是否存在mid满足下面条件:sum(Vi(i属于S))/sum(Wi(i属于S))>=mid;变形得到:sum(Vi-mid*Wi)>=0。因此对此式的值进行贪心选取,进一步求sum(Vi-mid*Wi)从大到小排列中前k个的和不小于零,每次推断的复杂度为O(n*log(n))
实现:
//输入 int n,k; int v[max_n],w[max_n]; double y[max_n]; bool get(double mid) { bool ok; for(int i=0;i<n;i++){ y[i]=v[i]-mid*w[i]; } sort(y,y+n); //计算从大到小前k个数的和 double sum=0; for(int i=0;i<k;i++){ sum+=y[n-i-1]; } if(sum>=0) ok=true; else ok=false; return ok; } void binsearch() { double ll=0,rr=inf; while(fabs(ll-rr)>eps) { double mid=(ll+rr)/2; if(get(mid)) ll=mid; else rr=mid; } printf("%.2f\n",rr); }