[JZOJ3171] 【GDOI2013模拟4】重心

题目

描述

题目大意

有一堆长为$2$的矩形，最下面的右端点横坐标为$0$。
每个矩形都有其固定的质量。
将这些矩形堆在一起，使得最右边的横坐标最大，并且满足它不会塌掉（满足物理学）。

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思考历程

首先就觉得这是一道结论题。
这个东西看起来不可以DP做，所以就往贪心的方面想。
我想从上往下推过来，计算出可能的最左和最右的重心的位置。
在计算的时候记录一下最右边的点。
实际上我的这个想法存在着太多的漏洞，以至于我连样例也没有过。

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正解

首先，最优的方案一定是长成“$>$”形状的。
接下来我们枚举这个凸出来的矩形，设其为$x$。
在$x$下面的尽量往右伸，在$x$上面的往左伸。右伸是为了使得答案尽量大，左伸是为了让答案尽量大的时候可以保持平衡。
现在我们需要让$x$以及它上面的矩形可以立足于$x-1$的矩形上。
由于$x$要尽量往右，那我们就钦定这一大块的重心在$r_{x-1}$处（$r_i$表示$i$矩形的右边横坐标）
又由于$x$上面的矩形要往左，所以我们就钦定它们的重心在$r_x-2$上（一定有满足这种条件的方案）。
设$M$为$x$上面的矩形的质量和，$m_x$为$x$的质量，依照公式：
$r_{x-1}=\frac{M(r_x-2)+m_x(r_x-1)}{M+m_x}$
如果我们知道$r_{x-1}$，就可以解出$r_x$，然后统计入答案。
那这个$r_{x-1}$是怎么来的呢？
显然不可以有上一次$i=x-1$时解出来的结果，具体原因不在赘述。
转化成另一个问题，现在$x$不是最右边的矩形，最右边的矩形会出现在它的上方。
所以$x$上面的矩形要尽量往右伸，我们可以将它们的重心钦定为$r_x$，然后方程就出来了。
$r_{x-1}=\frac{Mr_x+m(r_x-1)}{M+m_z}$
同样可以通过$r_{x-1}$解出$r_x$，解出之后用来更新现在的$r_{x-1}$，计算下一个答案。
时间显然是线性的。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 300010
int n;
int w[N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	double sum=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&w[i]),sum+=w[i];
	sum-=w[1];
	double r=0,ans=0;
	for (int i=2;i<=n;++i){
		sum-=w[i];
		ans=max(r+1+sum/(sum+w[i]),ans);
		r=r+w[i]/(sum+w[i]);
	}
	printf("%.8lf\n",ans);
	return 0;
}

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总结

在贪心的时候，有时可以“钦定”一下，假设除最好的情况来计算。