扩展欧几里得

求解线性方程，首先要判断线性方程有没有解

如果，说明方程有解

我们可以先用扩展欧几里得求解方程

因为

即

根据多项式恒等定理，最后化简得到

　　　　　　

　所以，当求出最大公约数时，，我们让x=1，y=0,求出一组解，然后递归返回时，根据上面的递推，不断递推出解，从而最终求的

　　的解

　　从而的解也可以求的。

LL extendGcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    LL g = extendGcd(b,a%b,x,y);
    //不断递推出新方程的解
    LL t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return g;
}

但是这样只能够求出一组解(x2,y2)，如果要求出另一组解怎么办呢？我们设另外一组解为（x1,y1)

可以a"与b"是互为质数的，所以(x1-x2)是b“的倍数(设为kb")，那么x1=x2+kb". 同理，(y2-y1)也是a"的倍数(设为ka"),那么y1=y2-ka"

即另一个组解为(x2+kb",y2-ka")

 

下面是模线性方程的一个应用

poj1061 http://poj.org/problem?id=1061

根据题目我们设跳k次之后相遇，可以得到方程  x+km = y+kn(mod L)   两只青蛙相遇，即mod L时余数相等

那么得到  x+km-y-kn = SL   -->  k(m-n) - SL = y - x

用扩展欧几里得就可以求出解来， 但是要注意的一点是负数的情况，当初做的时候wa了好久， 现在完全理解了定理之后，讨论一下是负数的情况就A了

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

typedef __int64 LL;

LL exGcd(LL a, LL b, LL&x, LL&y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    LL g = exGcd(b,a%b,x,y);
    LL t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return g;
}
int main()
{
    LL x,y,n,m,L,a,b,c,g;
    while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
    {
        a = m - n;
        b = L;
        c = y - x;
        if(a<0)//如果a是负数，那么让a变成正数，然后只要求出x之后 改成-x就是原方程的解
            g = exGcd(-a,b,x,y);
        else
            g = exGcd(a,b,x,y);
        if(c%g==0)//是g的倍数才有解
        {
            x = x * (c/g);
            if(a<0)
                x = -x;
            x %= b/g;
            if(x<0)
                x += b/g;
            printf("%I64d\n",x);
        }
        else
            puts("Impossible");
    }
    return 0;
}