电磁学讲义4：连续带电体的电场

任意形状带电体

点电荷是一种理想模型，只有当场点到带电体距离比带电体本身的线度大得多的时候，源电荷才可以看做点电荷。当考察带电体附近的电场的时候，带电体就不能看做点电荷，必须考虑带电体的大小和形状，以及电荷在带电体上的分布。对于任意形状的带电体，可以把带电体分割成很多很小的电荷元 \(\mathrm dq\)，每一个电荷元可以看做一个点电荷，则每个电荷元独自产生的电场为

\begin{equation*} \mathrm d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dq}{r^2}\hat{r} \end{equation*}

式中 \(r\) 为 电荷元 \(\mathrm dq\) 到场点的距离，\(\hat{r}\) 为电荷元指向场点的单位矢量。

图为电荷元在 \(P\) 点产生的电场

根据叠加原理，整个带电体在场点产生的电场为：

\begin{equation*} \vec{E}=\int \mathrm d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\mathrm dq}{r^2}\hat{r} \end{equation*}

在上面的讨论中，已经认为电荷在带电体上是连续分布的，但是我们前面讲过，电量是量子化的，是不连续的，这不矛盾吗？宏观带电体的电量包含着极大量的基元电荷，因此在宏观范围内，可以认为电荷是连续的“粘”在带电体上，不需要考虑电荷的不连续性。

根据不同的情况，有时可以把电荷看成在一定体积内连续分布（体分布），有时可以把电荷看成在一定平面内连续分布（面分布），有时可以把电荷看成在一定曲线上连续分布（线分布），等等，与此相应，可以引入电荷的体密度、面密度、线密度。

电荷体密度就是单位体积内的电量，取一体积元 \(\Delta V\)，此体积元内的电量为 \(\Delta q\)，则电荷体密度为：

\begin{equation*} \rho=\lim_{\Delta V\rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta V}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dV} \end{equation*}

这里\(\Delta V\rightarrow 0\) 与 数学上的 \(\Delta V\) 趋于0的意义是不同的。在物理上，\(\Delta V\rightarrow 0\) 表示宏观上足够小，而在微观上又足够大，包含有大量的基元电荷。

电荷面密度为：

\begin{equation*} \sigma=\lim_{\Delta S\rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta S}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dS} \end{equation*}

电荷线密度为：

\begin{equation*} \eta=\lim_{\Delta l\rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta l} = \frac{\mathrm dq}{\mathrm dl} \end{equation*}

同样地，这里 \(\Delta S\rightarrow 0\) 和 \(\Delta l\rightarrow 0\) 也表示宏观上足够小，而在微观上又足够大。

例题

例1 求均匀带电细棒中垂面上的场强分布，设棒长为\(2l\)，电量为 \(q\)。
选细棒中点 \(O\) 为坐标原点，沿细棒向上为 \(z\) 轴。选细棒中垂面上一点 \(P\)，到细棒距离为 \(r\)，由对称性可知，\(P\) 点场强沿垂直细棒的方向。

图为求均匀带电细棒中垂面上的场强分布

\(z\) 处电荷元在 \(P\) 点处场强沿 \(\overline{OP}\)方向的分量为

\begin{equation*} \mathrm dE_{\perp}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dq}{r^2}\cos\alpha=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ \eta \mathrm dz}{r^2+z^2}\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}} \end{equation*}

\(P\)点处场强为：

\begin{equation*} \begin{split} E=&\int \mathrm dE_{\perp}=\frac{\eta}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-l}^l \frac{r}{(r^2+z^2)^{3/2}}\mathrm dz=\frac{\eta l}{2\pi\varepsilon_0 r \sqrt{r^2+l^2}}\\ =&\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r \sqrt{r^2+l^2}} \end{split} \end{equation*}

讨论：

1. 当场点距离细棒非常远的时候，\(r\gg l\)，此时，\(E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\)，细棒可以看做点电荷。
2. 当场点距离细棒非常近的时候，\(r\ll l\)，此时，\(E=\frac{\eta}{2\pi\varepsilon_0 r}\)。

例2 求均匀带电圆环轴线上的电场，圆环半径为 \(R\)，电量 \(q\)。

图为均匀带电圆环轴线上一点的场强

电荷元 \(\mathrm dq\) 在 \(P\) 点的场强：

\begin{equation*} \mathrm d\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dq}{r^2}\hat{r} \end{equation*}

根据对称性，均匀带电圆环在 \(P\) 点的合场强沿 \(x\) 轴方向，如下图：

对称的电荷元在P点的场强，垂直对称轴的分量抵消，只留下平行对称轴的分量。

均匀带电圆环在 \(P\) 点产生的电场为：

\begin{equation*} \begin{split} \vec{E}=&\hat{i}\int \mathrm d E \cos \theta =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm dq}{x^2+R^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\hat{i}\\ =&\frac{\hat{i}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x}{(x^2+R^2)^{3/2}}\int \mathrm dq = \frac{\hat{i}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx}{(x^2+R^2)^{3/2}} \end{split} \end{equation*}

讨论：

1. 当 \(x=0\)时，\(E=0\)，根据对称性能猜到的结果。
2. 当场点距离圆环非常远的时候，\(x\gg R\)，\(E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{x^2}\)，这正是点电荷的电场。

例3 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度
半径为 \(R\)，电量为 \(q\)，电荷面密度为 \(\sigma=\frac{q}{\pi R^2}\)。把带电圆盘分割成一系列宽为 \(\mathrm dr\) 的带电圆环，把每个带电圆环看做电荷元，电荷元电量 \(\mathrm dq=\sigma 2\pi r \mathrm dr\)，电荷元在 \(P\) 点产生的电场为

\begin{equation*} \mathrm d\vec{E}= \frac{\hat{i}}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dqx}{(x^2+R^2)^{3/2}} \end{equation*}

将带电薄圆盘分割成一系列圆环

带电薄圆盘在 \(P\) 点处的电场强度为：

\begin{equation*} \begin{split} \vec{E}=&\int \mathrm d\vec{E}= \frac{\hat{i}}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{x}{(x^2+r^2)^{3/2}}\mathrm dq\\ =&\hat{i} \frac{\sigma x }{2\varepsilon_0} \int_0^{R} \frac{r}{(x^2+r^2)^{3/2}}\mathrm dr\\ =&\frac{\sigma x }{2\varepsilon_0} \left (\frac{1}{\sqrt{x^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}} \right )\hat{i} \end{split} \end{equation*}

讨论：

1. 当场点非常靠近圆盘时，\(x\ll R\)，\(E=\frac{\sigma }{2\varepsilon_0}\)，这是无限大均匀带电平面附近的电场分布。
2. 当场点距离圆盘非常远时，\(x\gg R\)，电场可化为：

\begin{equation*} E= \frac{\sigma }{2\varepsilon_0} \left [1-\left(1+\frac{R^2}{x^2}\right)^{-1/2} \right ] \end{equation*}

\(x\gg R\) 时，

\begin{equation*} \left(1+\frac{R^2}{x^2}\right)^{-1/2} \approx 1-\frac{1}{2}\frac{R^2}{x^2} \end{equation*}

于是有

\begin{equation*} E= \frac{\sigma }{4\varepsilon_0}\frac{R^2}{x^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{x^2} \end{equation*}

正是点电荷的电场分布。

例题3另一种解法。
用极坐标处理带电圆盘，取面积元 \(\mathrm dS=r\mathrm dr\mathrm d\theta\)，则电荷元 \(\mathrm dq=\sigma \mathrm dS=\sigma r\mathrm dr\mathrm d\theta\)，由于对称性，可以只考虑电荷元在 \(P\) 点处的场强 \(x\) 分量，

\begin{equation*} \mathrm dE_x= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x\mathrm dq}{(x^2+r^2)^{3/2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x\sigma r\mathrm dr\mathrm d\theta}{(x^2+r^2)^{3/2}} \end{equation*}

带电圆盘在 \(P\) 点处的场强为：

\begin{equation*} \begin{split} E=&\int \mathrm dE_x= \frac{\sigma x}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{ r\mathrm dr}{(x^2+r^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta \\ =&\frac{\sigma x }{2\varepsilon_0} \int_0^{R} \frac{r}{(x^2+r^2)^{3/2}}\mathrm dr \end{split} \end{equation*}

剩余计算过程与前述方法一样。

作业

作业：习题1-12
科研训练：1 检索文献资料，了解均匀带电圆环的电场分布的计算。2 检索文献资料，找出一种还未被研究过或研究不完全的特殊形状的带电体，计算其电场分布。

参考资料

• 贾启民《电磁学》
• 赵凯华《电磁学》