快速排序算法 Quick sort

作者：jostree 转载请注明出处 http://www.cnblogs.com/jostree/p/4046189.html

首先随机选择一个轴，并调整数组内各个数字，使得比轴值大的数在轴的右边，比轴小的数在抽的左边。然后在递归的对左边和右边进行快速排序。

在调整的过程中，可以使用交替填坑的算法。

例如对于序列 4 2 3 0 1 5 第一次随机选择轴值为3。那么首先把轴值与第一个数交换。并保存数值3，得到序列：

3  2  4  0  1  5

p                 q

现在取两个指针p，q分别指向序列的第一个数和最后一个数。即p指向3，q指向5。现在p指向的数字为坑，可以被替换掉，那么另q指向第一个比轴值小且在p后面的数，即1。那么把1覆盖掉p指向的坑。并且另p++，现在序列变为：

1  2  4  0  1  5

    p          q   

现在q指向的1为坑，现在另p找到第一个比轴值3大的且在q之前的数，即4。那么把4填入q指向的坑中。q--，序列变为：

1  2  4  0  4  5

        p  q

现在p指向的4为坑，把第一个比轴值3小且在p后面的数为0，那么把0填入坑中，p++，序列变为：

1  2  0  0  4  5 

       q   p

现在p指向的0为坑，发现p>q，那么把轴值填入坑中，即完成了partition的过程。最终序列为：

1  2  0  3  4  5  轴值为3，其左侧的数都比3小，右侧的数都比3大。

然后对序列1 2 3和4 5，递归的调用快速排序算法就可以了。

代码如下，分别实现了递归和非递归的快排。

int partation(vector<int> & arr, int l, int r)
{
    int p = rand() % (r - l + 1) + l;
    int pval = arr[p];
    swap(arr[p], arr[l]);
    while( l < r )
    {
        while( l < r && arr[r] >= pval ) r--;
        arr[l] = arr[r];
        while( l < r && arr[l] < pval ) l++;
        arr[r] = arr[l];
    }
    arr[l] = pval;
    return l;
}

void qs_st(vector<int> & arr, int l, int r)
{
    if( l >= r ) return;
    stack<pair<int, int> > st;
    int m = partation(arr, l, r);
    if( m - 1 > l ) st.push(make_pair(l, m - 1));
    if( m + 1 < r )st.push(make_pair(m + 1, r));
    while( !st.empty() )
    {
        int l = st.top().first;
        int r = st.top().second;
        st.pop();
        int m = partation(arr, l, r);
        if( m - 1 > l ) st.push(make_pair(l, m - 1));
        if( m + 1 < r ) st.push(make_pair(m + 1, r));
    }
}

void qs(vector<int> & arr, int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
    int m = partation(arr, l, r);
    qs(arr, l, m - 1);
    qs(arr, m + 1, r);
}

 

对于快速排序算法的复杂度我们可以进行如下的计算：

对于一个长度为$n$的序列，我们定义指数函数$I(i,j)$：在快速排序算法中如果第$i$个元素和第$j$个元素比较过就为1否则为0。

那么总的比较次数$X$为：

\begin{equation} X = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}I(i,j) \end{equation}

我们可以得到$X$的期望为：

\begin{eqnarray} E(X) &=& E(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}I(i,j))\\ &=&  \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}E(I(i,j))\\ &=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}P(\mbox{i is compared with j})\\ &\leq& \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n} \frac{2}{j-i+1}\\ &=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n-i} \frac{2}{k+1}\\ &<& \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k+1}\\ &=& O(n\log n) \end{eqnarray}

其中第5步，i和j比较的概率，可以这么计算，不妨设i和j分别为排完序后的位置且i<j，那么如果i和j之间的数当过轴，那么i和j在后面的过程中就绝对不会在进行比较。

因此i和j比较过只有可能小于i或大于j的数当做轴，那么在下面的递归过程中，最终会形成一个由i到j组成的序列，i为序列的第一个，j为序列的最后一个，那么i和j比较过只有可能i为轴或j为轴。

其中i为轴的概率为在j-i+1个数中选择1个即1/(j-i+1)，同理j被选作为轴的概率也为1/(j-i+1)，即i和j被比较过的概率为2/(j-i+1)。