《现代信号处理教程》笔记——压缩感知

压缩感知

第15章 压缩感知的基础理论

15.1 压缩感知的基本概念

1. 基本问题：如何突破Shannon抽样定理？（奈奎斯特率）

   • 传统抽样流程
   • 传统抽样方法的弊端

2. 基本定义

   • 压缩感知（CS）针对稀疏信号，但Shannon定理只需要知道信号带宽无需其他先验
   • CS将信号的采集和压缩过程合并，减少了数据存储压力
   • k稀疏、测量系统\(y=\Phi x\)，给定测量系统，求解最优x（P443-444）
   • 稀疏性的存在：1）信号在时空域上的稀疏性；2）信号在（正交）变换域上的稀疏性
   • 使用二范数的问题；零范数的NP-Hard问题；

3. CS理论的三个要求：

   • 信号x在时空域、变换域是稀疏的
   • 测量矩阵要满足一定的性质
   • 高效的恢复算法

4. 由3.引出的CS的核心问题

   • 信号的稀疏表示
   • 对k稀疏信号，最小测量次数M的求解
   • 测量矩阵的性质与设计
   • 信号恢复算法
   • 如何计算y
   • CS的应用

5. CS的发展

   • 开篇论文：[Can06a], [Don06]
   • 网站：Compressive Sensing Resources | http://dsp.rice.edu/CS/

15.2 预备知识

1. 矩阵的零空间（测量系统方程的解空间），又称Kernel
2. 矩阵的具有常数\(\lambda\)的k阶零空间性质
3. 矩阵的spark，spark和秩的关系
4. 向量范数（l1范数的重要性）
5. 凸优化与线性规划（单纯形法与内点法）

15.3 信号的稀疏表示