排序七 归并排序
要点
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
归并排序的基本思想
将待排序序列R[0...n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2个长度为2的有序表；将这些有序序列再次归并，得到n/4个长度为4的有序序列；如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序序列。
综上可知：
归并排序其实要做两件事：
（1）“分解”——将序列每次折半划分。
（2）“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序。
我们先来考虑第二步，如何合并？
在每次合并过程中，都是对两个有序的序列段进行合并，然后排序。
这两个有序序列段分别为 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。
先将他们合并到一个局部的暂存数组R2中，带合并完成后再将R2复制回R中。
为了方便描述，我们称 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 为第二段。
每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。
经过这样的过程，R2已经是一个有序的序列，再将其复制回R中，一次合并排序就完成了。
核心代码
int i = low; // i是第一段序列的下标
int j = mid + 1; // j是第二段序列的下标
int k = 0; // k是临时存放合并序列的下标
int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是临时合并序列
// 扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束
while (i <= mid && j <= high) {
// 判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描
if (array[i] <= array[j]) {
array2[k] = array[i];
i++;
k++;
} else {
array2[k] = array[j];
j++;
k++;
}
}
// 若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
while (i <= mid) {
array2[k] = array[i];
i++;
k++;
}
// 若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
while (j <= high) {
array2[k] = array[j];
j++;
k++;
}
// 将合并序列复制到原始序列中
for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
array[i] = array2[k];
}
}
掌握了合并的方法，接下来，让我们来了解 如何分解。
在某趟归并中，设各子表的长度为gap，则归并前R[0...n-1]中共有n/gap个有序的子表：R[0...gap-1], R[gap...2*gap-1], ... , R[(n/gap)*gap ... n-1]。
调用Merge将相邻的子表归并时，必须对表的特殊情况进行特殊处理。
若子表个数为奇数，则最后一个子表无须和其他子表归并（即本趟处理轮空）：若子表个数为偶数，则要注意到最后一对子表中后一个子表区间的上限为n-1。
核心代码
int i = 0;
// 归并gap长度的两个相邻子表
for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
}
// 余下两个子表，后者长度小于gap
if (i + gap - 1 < length) {
Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
}
}
public int[] sort(int[] list) {
for (int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {
MergePass(list, gap, list.length);
System.out.print("gap = " + gap + ":\t");
this.printAll(list);
}
return list;
}
算法分析
归并排序算法的性能
|
排序类别 |
排序方法 |
时间复杂度 |
空间复杂度 |
稳定性 |
复杂性 |
||
|
平均情况 |
最坏情况 |
最好情况 |
|||||
|
归并排序 |
归并排序 |
O(nlog2n) |
O(nlog2n) |
O(nlog2n) |
O(n) |
稳定 |
较复杂 |
时间复杂度
归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log2n)。
空间复杂度
由前面的算法说明可知，算法处理过程中，需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。
算法稳定性
在归并排序中，相等的元素的顺序不会改变，所以它是稳定的算法。
归并排序和堆排序、快速排序的比较
若从空间复杂度来考虑：首选堆排序，其次是快速排序，最后是归并排序。
若从稳定性来考虑，应选取归并排序，因为堆排序和快速排序都是不稳定的。
若从平均情况下的排序速度考虑，应该选择快速排序。
完整参考代码
Java版本
2
3 public class MergeSort {
4 public void Merge(int[] array, int low, int mid, int high) {
5 int i = low; // i是第一段序列的下标
6 int j = mid + 1; // j是第二段序列的下标
7 int k = 0; // k是临时存放合并序列的下标
8 int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是临时合并序列
9
10 // 扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束
11 while (i <= mid && j <= high) {
12 // 判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描
13 if (array[i] <= array[j]) {
14 array2[k] = array[i];
15 i++;
16 k++;
17 } else {
18 array2[k] = array[j];
19 j++;
20 k++;
21 }
22 }
23
24 // 若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
25 while (i <= mid) {
26 array2[k] = array[i];
27 i++;
28 k++;
29 }
30
31 // 若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列
32 while (j <= high) {
33 array2[k] = array[j];
34 j++;
35 k++;
36 }
37
38 // 将合并序列复制到原始序列中
39 for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
40 array[i] = array2[k];
41 }
42 }
43
44 public void MergePass(int[] array, int gap, int length) {
45 int i = 0;
46
47 // 归并gap长度的两个相邻子表
48 for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
49 Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
50 }
51
52 // 余下两个子表，后者长度小于gap
53 if (i + gap - 1 < length) {
54 Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
55 }
56 }
57
58 public int[] sort(int[] list) {
59 for (int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {
60 MergePass(list, gap, list.length);
61 System.out.print("gap = " + gap + ":\t");
62 this.printAll(list);
63 }
64 return list;
65 }
66
67 // 打印完整序列
68 public void printAll(int[] list) {
69 for (int value : list) {
70 System.out.print(value + "\t");
71 }
72 System.out.println();
73 }
74
75 public static void main(String[] args) {
76 int[] array = {
77 9, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 8, 7
78 };
79
80 MergeSort merge = new MergeSort();
81 System.out.print("排序前:\t\t");
82 merge.printAll(array);
83 merge.sort(array);
84 System.out.print("排序后:\t\t");
85 merge.printAll(array);
86 }
87 }
运行结果
gap = 1: 1 9 3 5 2 4 6 8 7
gap = 2: 1 3 5 9 2 4 6 8 7
gap = 4: 1 2 3 4 5 6 8 9 7
gap = 8: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
排序后: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
参考资料
《数据结构习题与解析》（B级第3版）
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示例源码：https://github.com/dunwu/algorithm-notes
