LeetCode 53. Maximum Subarray（最大的子数组）

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

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More practice:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

 

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题目标签：Array

　　这道题目给了我们一个array， 让我们找到一个连续的子数组，它的sum是最大的。题目说明有O(n) 方法和 Divide and conquer 方法。

 

　　我们先来看一下O(n) 方法：

　　　　遍历array，对于每一个数字，我们判断，（之前的sum + 这个数字） 和 （这个数字） 比大小，如果（这个数字）自己就比 （之前的sum + 这个数字） 大的话，那么说明不需要再继续加了，直接从这个数字，开始继续，因为它自己已经比之前的sum都大了。

　　　　反过来，如果 （之前的sum + 这个数字）大于 （这个数字）就继续加下去。

　　　　这个方法和Kadane Algorithm 差不多， Kadane 的算法是，如果之前的sum 小于0了，就重新计算sum，如果sum不小于0，那么继续加。

 

 

　　接着看一下Divide and conquer 方法：

　　　　对于任何一个array来说，有三种可能：

　　　　　　1。它的maximum subarray 落在它的左边；

　　　　　　2。maximum subarray 落在它的右边；

　　　　　　3。maximum subarray 落在它的中间。

 

　　　　对于第一，二种情况，利用二分法就很容易得到，base case 是如果只有一个数字了，那么就返回。

　　　　对于第三种情况，如果落在中间，那么我们要从左右两边返回的两个 mss 中，挑出一个大的，再从 （左右中大的值） 和 （左+右）中挑出一个大的。具体看下面代码。

 

　　

Java Solution 1:

Runtime beats 71.37% 

完成日期：03/28/2017

关键词：Array

关键点：基于 Kadane's Algorithm 改变

 

public class Solution 
{
    public int maxSubArray(int[] nums) 
    {
        //    Solution 1:  O(n)
        // check param validation.
        if(nums == null || nums.length == 0)
            return 0;
        
        int sum = 0;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
 
        // iterate nums array.
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) 
        {
            // choose a larger one between current number or (previous sum + current number).
            sum = Math.max(nums[i], sum + nums[i]);
            max = Math.max(max, sum);    // choose the larger max.
        }
 
        return max;
    }
    
    
    
}

 

Java Solution 2: 

Runtime beats 71.37% 

完成日期：03/28/2017

关键词：Array

关键点：Kadane's Algorithm

 

public class Solution 
{
    public int maxSubArray(int[] nums) 
    {
        int max_ending_here = 0;
        int max_so_far = Integer.MIN_VALUE;
        
        for(int i = 0; i < nums.length; i++)
        {  
            if(max_ending_here < 0) 
                 max_ending_here = 0;  
            max_ending_here += nums[i];  
            max_so_far = Math.max(max_so_far, max_ending_here);   
        }  
        return max_so_far; 
    }
    
    
    
}

 

Java Solution 3: 

Runtime beats 29.96% 

完成日期：03/29/2017

关键词：Array

关键点：Divide and Conquer

 

public class Solution 
{
    public int maxSubArray(int[] nums) 
    {
        // Solution 3: Divide and Conquer. O(nlogn)
        if(nums == null || nums.length == 0)
            return 0;
        
        
        return Max_Subarray_Sum(nums, 0, nums.length-1);
    }
    
    public int Max_Subarray_Sum(int[] nums, int left, int right)
    {
        if(left == right)    // base case: meaning there is only one element.
            return nums[left];
        
        int middle = (left + right) / 2;    // calculate the middle one.
        
        // recursively call Max_Subarray_Sum to go down to base case.
        int left_mss = Max_Subarray_Sum(nums, left, middle);    
        int right_mss = Max_Subarray_Sum(nums, middle+1, right);
        
        // set up leftSum, rightSum and sum.
        int leftSum = Integer.MIN_VALUE;
        int rightSum = Integer.MIN_VALUE;
        int sum = 0;
        
        // calculate the maximum subarray sum for right half part.
        for(int i=middle+1; i<= right; i++)
        {
            sum += nums[i];
            rightSum = Integer.max(rightSum, sum);
        }
        
        sum = 0;    // reset the sum to 0.
        
        // calculate the maximum subarray sum for left half part.
        for(int i=middle; i>= left; i--)
        {
            sum += nums[i];
            leftSum = Integer.max(leftSum, sum);
        }
        
        // choose the max between left and right from down level.
        int res = Integer.max(left_mss, right_mss);
        // choose the max between res and middle range.
        
        return Integer.max(res, leftSum + rightSum);
        
    }
    
}

参考资料：

http://www.cnblogs.com/springfor/p/3877058.html

https://www.youtube.com/watch?v=ohHWQf1HDfU

 

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