牛顿法和牛顿迭代法

牛顿法，大致的思想是用泰勒公式的前几项来代替原来的函数，然后对函数进行求解和优化。牛顿法和应用于最优化的牛顿法稍微有些差别。

牛顿法

牛顿法用来迭代的求解一个方程的解，原理如下：
对于一个函数f(x),它的泰勒级数展开式是这样的

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 + ...+\frac{1}{n!}f^{n}(x_0)(x-x_0)^n \]

当使用牛顿法来求一个方程解的时候，它使用泰勒级数前两项来代替这个函数，即用\(\phi(x)代替f(x)\),其中:

\[\phi(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \]

令\(\phi(x) = 0\)，则 \(x = x_0 - \frac{f(x_0)}{ f'(x_0)}\)。
所以，牛顿法的迭代公式是\(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{ f'(x_n)}\)

牛顿法求解n的平方根

求解n的平方根，其实是求方程\(x^2 -n = 0\)的解
利用上面的公式可以得到：\(x_{i+1} = x_i - \frac{x_i^2 - n}{2 x_i} = (x_i + \frac{n}{x_i} ) /2\)
编程的时候核心的代码是：x = (x + n/x)/2

应用于最优化的牛顿法

应用于最优化的牛顿法是以迭代的方式来求解一个函数的最优解，常用的优化方法还有梯度下降法。
取泰勒展开式的二次项,即用\(\phi(x)\)来代替\(f(x)\)：

\[\phi(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 \]

最优点的选择是\(\phi'(x)=0\)的点，对上式求导

\[\phi'(x) =f'(x_0) + f''(x_0)(x-x_0) \]

令\(\phi'(x) = 0\)，则\(x = x_0 - \frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}\)
所以，最优化的牛顿迭代公式是

\[x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} \]

高维下的牛顿优化方法

在高维下

\[\phi(x) = f(x_0) + \nabla f(x_0)^T (x-x_0) + \frac{1}{2} (x-x_0)^T \nabla^2 f(x_0)(x-x_0) \]

求\(\nabla \phi(x)\),并令它等于0，则公式变为了

\[\nabla f(x_0) + \nabla^2 f(x_0)(x-x_0) =0 \]

即

\[x = x_0 - {\nabla ^2 f(x_0) }^{-1} \nabla f(x_0) \]

所以，迭代公式变为

\[x_{n+1} = x_{n} - {\nabla ^2 f(x_n) }^{-1} \nabla f(x_n) \]

其中：
\(x_{n+1} ,x_n\)都是N*1维的矢量。
\(\nabla^2 f(x_n)\)是Hessien矩阵，\({\nabla ^2 f(x_n) }^{-1}\)是Hessien矩阵的逆矩阵，它们都是是N*N维的。
\(\nabla f(x_n)\)是 \(f(x)\)的导数，是N*1维的。

和梯度下降法相比，在使用牛顿迭代法进行优化的时候，需要求Hessien矩阵的逆矩阵，这个开销是很大的。