最大流学习笔记（3）-推送重贴标签算法一
1 预流：预流是一个$V\times V \rightarrow R$的函数$f$，该函数对于每个节点$u\in V-\{s\}$满足容量限制条件和下面的性质：
$\sum_{v\in V}f(v,u)-\sum_{v\in V}f(u,v)\geq 0$
定义$e(u)=\sum_{v\in V}f(v,u)-\sum_{v\in V}f(u,v)$为进入节点$u$的超额流。如果$e(u)>0$，称$u$溢出
2 高度函数的定义：设G是一个流网络，如果函数$f:V\rightarrow N$满足$h(s)=|V|,h(t)=0$,且对任意的边$(u,v)\in E_{f}$，有$h(u)\leq h(v)+1$,那么$h$是一个高度函数
3 对于任意两个节点$u,v\in V$,如果$h(u)>h(v)+1$，那么$(u,v)\notin E_{f}$
4 推送重贴标签算法的思想是在算法的任何时候，维护一个预流$f$和高度函数$h$，并且使用推送操作和重贴标签操作来进行更新。
5 推送操作：如果$u$是一个溢出节点，$c_{f}(u,v)>0$,且$h(u)=h(v)+1$，那么推送操作$PUSH(u,v)$作用于节点$u,v$。设节点$u$的超额流存放在$u.e$,高度存放在$u.h$。下面是推送操作的伪代码：
每次从节点$u$推送到节点$v$的流量为$\Delta _{f}(u,v)=min(u.e,c_{f}(u,v))$，保证不会使得$u.e$变为负数，同时超过$c(u,v)$.
如果在一次$PUSH$ 操作后，$(u,v)$达到饱和状态，即$c_{f}(u,v)=0$，那么称此次推送操作为饱和推送，否则为非饱和推送。
6 从节点$u$到节点$v$的一个非饱和推送之后，节点$u$将不再溢出。
7 重贴标签操作：如果节点$u$溢出，且对于所有的边$(u,v)\in E_{f}$，有$u.h\leq v.h$，那么此时将进行重贴标签操作$RELABEL(u)$。
这个操作被调用时，$E_{f}$中至少包含一条从$u$出发的边。因为$e(u)=\sum_{v\in V}f(v,u)-\sum_{v\in V}f(u,v)>0$，所以至少有一个$v$使得$(v,u).f>0$，所以至少有一条边$(u,v)\in E_{f}$。
8 算法的整体流程：
（1）初始化
（2）主循环
9 设$f$为流网络G的一个预流，$h$为高度函数。如果一个节点$u$溢出，那么要么可以对$u$进行推送操作，要么可以对$u$进行重贴标签操作。
10 在GENERIC-PUSH-RELABEL的整个过程中，每个节点的高度不会减少，且每次重贴标签操作会使得$u$的高度至少增加1.
11 在GENERIC-PUSH-RELABEL的整个过程中，将始终维持$h$是一个高度函数
12 在GENERIC-PUSH-RELABEL的整个过程中，不存在从源点到汇点的路径。
13 如果GENERIC-PUSH-RELABEL算法能够终止，那么计算出的$f$是一个最大流。
以下为证明
9的证明
对于任意残存边$(u,v)$有$h(u)\leq h(v)+1$。如果不能对$u$进行推送操作，那么对任意的$(u,v)\in E_{f}$有$h(u)<h(v)+1$，即$h(u)\leq h(v)$，因此可以对$u$进行重贴标签操作。
11的证明
（1）初始时，$h$ 是一个高度函数；
（2）重贴标签操作作用于$u$后，对于所有的$(u,v)$仍然满足$h(u)\leq h(v)+1$。对于进入$u$的边，比如$(w,u)$，在重贴标签之前有$w.h\leq u.h+1$,之后有$w.h< u.h+1$。因此重贴标签操作将保持$h$仍然为高度函数。
（3）$PUSH(u,v)$操作之后可能增加一条边$(v,u)$，$v.h=u.h-1<u.h+1$，因此$h$仍然是高度函数。还有可能删掉边$(u,v)$，这没有任何影响。
12的证明
假设存在$p=<v_{0},v_{1},...,v_{k}>$，其中$s=v_{0},t=v_{k}.$由于$p$经过每个节点最多一次，那么有$k<|V|$。由于$h(t)=0$,而对于任意一条边$(v_{i},v_{i+1})$,$v_{i}$的高度最多比$v_{i+1}$的高度达1，所以$h(s)\leq k<|V|$，这与$h(s)=|V|$矛盾
13的证明
（1）首先，在算法的整个过程中，$f$都是一个预流。初始时是，算法每个循环中，重贴标签不影响$f$，推送操作结束后$f$也仍然是一个预流；
（2）如果算法能够终止，那么终止时，没有节点需要推送操作和重贴标签操作，由9可知，没有溢出节点存在，所以$f$是一个流。由12可知，没有增广路径存在，所以由最大流最小割定理，$f$是最大流
