红黑树学习笔记（1）
1 红黑树是一种二叉查找树。
2 红黑树的性质。
（1）每个节点是红色或者黑色
（2）根节点是黑色
（3）叶节点是黑色（叶节点就是空节点，实际不存储东西）
（4）每一个红色节点的两个孩子都是黑色节点
（5）对于每个节点，从该节点到任意后代叶子节点经过的黑色节点数相同。
（6）满足二叉查找树的性质，即左子树所有键值小于当前节点键值，右子树所有键值大于当前节点键值。
（7）在满足上面这些条件时，对于有n个内节点(内节点就是不包含叶节点)的红黑树，高度至多为$2log(n+1)$.首先定义一个节点x的黑高为$bh(x)$,表示从x到任意一个叶子节点路径上黑色节点的个数（不包括x）。先证明以某一节点x为根的子树中至少包含$2^{bh(x)}-1$个内节点(不是叶子的都是内节点)。用数学归纳法证明。如果x的高度为0，那么x是叶节点，包含0个内节点，满足该式子。对于高度为正值的x，其两个孩子至少包含$2^{bh(x)-1}-1$个内节点，所以以x为根的子树至少包含$(2^{bh(x)-1}-1)+(2^{bh(x)-1}-1)+1=2^{bh(x)}-1$个内节点。第二步，对于一棵高度为h的树，任意一条从根到叶节点（不包括根）的路径上至少有一半黑色节点，从而$bh(x)\geq \frac{h}{2}$，所以$n\geq 2^{bh(x)}-1\geq 2^{\frac{h}{2}}-1$，即$h\leq 2log(n+1)$
下面是一个红黑树的例子。
3 左旋和右旋操作。对x进行左旋之后将变成右边，对y进行右旋之后会变成左边。
4 后继函数$Successor(u)$为节点$u$的后继结点。后继定义为树中大于该节点的最小的节点。在上图中节21的后继为23，节点17的后继为19，节点23的后继为26.
