最大流学习笔记（1）
1 流网络。流网络G=(V,E)是一个有向图，每条边$(u,v)\in E$有一个非负容量值$c(u,v)\geq 0$.如果$(u,v)\notin E,c(u,v)=0$.另外有一个源节点s和汇点t。
2 流。G中的流是一个实值函数$f:V\times V\rightarrow R$，满足：
（1）容量限制：对所有的$u,v\in V$,$0 \leq f(u,v)\leq c(u,v)$
（2）流量守恒：对所有的$u\in V-\{s,t\}$，满足$\sum_{v\in V}f(v,u)=\sum_{v\in V}f(u,v)$
一个流$f$的值$|f|$的定义为:$|f|=\sum_{v\in V}f(s,v)-\sum_{v\in V}f(v,s)$。一般来说，一个流网络不会有任何进入源点的边，因此一般$\sum_{v\in V}f(v,s)=0$。
最大流要解决的问题是给定流网络G以及s、t，希望找到值最大的一个流$f$。
3 残存网络。给定流网络G以及它的一个流$|f|$,残存网络$G_{f}$的顶点集边集以及源点汇点都与原流网络相同，$G_{f}$的边集的容量定义为：
$c_{f}(u,v)=\left\{\begin{matrix}c(u,v)-f(u,v) &(u,v)\in E\\ f(v,u) & (v,u)\in E\\ 0 & other \end{matrix}\right.$
4 若求得残存网络$G_{f}$的一个流$f^{'}$，那么$f+f^{'}$为$f^{'}$对$f$的递增，
$(f+f^{'})(u,v)=\left\{\begin{matrix}f(u,v)+f^{'}(u,v)-f^{'}(v,u) & (u,v)\in E\\ 0& other \end{matrix}\right.$
$f+f^{'}$也是G的一个流， $|f+f^{'}|=|f|+|f^{'}|$
5 增广路径。对于流网络G和流$|f|$，增广路径$p$是残存网络$G_{f}$的一条从s到t的简单路径。增广路径$p$上能够增加的流量的最大值为$p$的残存容量$c_{f}(p)=min\{c_{f}(u,v):(u,v)\in p\}$.定义函数$f_{p}:V \times V\rightarrow R$:
$f_{p}(u,v)=\left\{\begin{matrix}c_{f}(p) & (u,v)\in p \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$
$f_{p}$是$G_{f}$的一个流，$|f_{p}|=c_{f}(p)>0$，$|f+f_{p}|=|f|+|f_{p}|>|f|$
6 流网络的切割。流网络G的一个切割$(S,T)$将顶点集合$V$划分为$S$和$T=V-S$，满足$s\in S,t\in T$。若$f$是一个流，那么切割$(S,T)$的净流量$f(S,T)$定义为：
$f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v,u)$
切割$(S,T)$的容量定义为：$c(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)$
7 设$f$为流网络G的一个流，源点s，汇点t，设 $(S,T)$为G的任意切割，则横跨切割$(S,T)$的净流量$f(S,T)=|f|$
8 流网络G的任意流$f$的值不能超过G任意切割的容量。（容量的定义在6中）
$|f|=f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v,u)$
$\leq \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v)$
$\leq \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)$
$=c(S,T)$
9 最大流最小切割定理。设$f$为流网络G的一个流，下面的条件等价：
（1）$f$是G的一个最大流
（2）残存网络$G_{f}$不包括任何增广路径
（3）|f|=c(S,T),其中$(S,T)$是某个切割。
以下为证明
4的证明：
（1） $0\leq (f+f^{'})(u,v) \leq c(u,v)$
有一个前提是$f^{'}(v,u)\leq c_{f}(u,v)=f(u,v)$
$(f+f^{'})(u,v)$
$=f(u,v)+f^{'}(u,v)-f^{'}(v,u)$
$\geq f(u,v)+f^{'}(u,v)-f(v,u)$
$=f^{'}(u,v)\geq 0$
$(f+f^{'})(u,v)$
$=f(u,v)+f^{'}(u,v)-f^{'}(v,u)$
$\leq f(u,v)+f^{'}(u,v)$
$\leq f(u,v)+c_{f}(u,v)$
$= f(u,v)+c(u,v)-f(u,v)$
$=c(u,v)$
（2）对所有的$u\in V-\{s,t\}$，满足$\sum_{v\in V}(f+f^{'})(u,v)=\sum_{v\in V}(f+f^{'})(v,u)$
$\sum_{v\in V}(f+f^{'})(u,v)$
$=\sum_{v\in V}(f(u,v)+f^{'}(u,v)-f^{'}(v,u))$
$=\sum_{v\in V}(f(u,v))+\sum_{v\in V}f^{'}(u,v)-\sum_{v\in V}f^{'}(v,u)$
$=\sum_{v\in V}(f(v,u)+f^{'}(v,u)-f^{'}(v,u))$
$=\sum_{v\in V}(f+f^{'})(v,u)$
（3）$|f+f^{'}|=|f|+|f^{'}|$。我们假设G没有反平行边，即若$(u,v)\in E$那么$(v,u)\notin E$(如果G存在反平行边，假设是$(u,v)$,我们可以增加一个节点$w$ 和两条边$(u,w),(w,v)$来消除反平行边)。现在定义$V_{1}=\{v:(s,v)\in E\}$,$V_{v}=\{v:(v,s)\in E\}$,那么有$V_{1}\cap V_{2}=\phi $
$|f+f^{'}|=\sum_{v\in V}(f+f^{'})(s,v)-\sum_{v\in V}(f+f^{'})(v,s)$
$=\sum_{v\in V_{1}}(f+f^{'})(s,v)-\sum_{v\in V_{2}}(f+f^{'})(v,s)$
$=\sum_{v\in V_{1}}(f(s,v)+f^{'}(s,v)-f^{'}(v,s))-\sum_{v\in V_{2}}(f(v,s)+f^{'}(v,s)-f^{'}(s,v))$
$=\sum_{v\in V_{1}}f(s,v)-\sum_{v\in V_{2}}f(v,s)+\sum_{v\in V_{1}\cup V_{2}}f^{'}(s,v)-\sum_{v\in V_{1}\cup V_{2}}f^{'}(v,s)$
$=\sum_{v\in V}f(s,v)-\sum_{v\in V}f(v,s)+\sum_{v\in V}f^{'}(s,v)-\sum_{v\in V}f^{'}(v,s)$
$=|f|+|f^{'}|$
7的证明
首先由流量守恒，对任意$u\in V-\{s,t\}$,$\sum_{v\in V}f(u,v)-sum_{v\in V}f(v,u)=0$
$|f|=\sum_{v\in V}f(s,v)-\sum_{v\in V}f(v,s)$
$=\sum_{v\in V}f(s,v)-\sum_{v\in V}f(v,s)+\sum_{u\in S-\{s\}}(\sum_{v\in V}f(u,v)-\sum_{v\in V}f(v,u))$
$=\sum_{v\in V}f(s,v)-\sum_{v\in V}f(v,s)+\sum_{u\in S-\{s\}}\sum_{v\in V}f(u,v)-\sum_{u\in S-\{s\}}\sum_{v\in V}f(v,u)$
$=\sum_{v\in V}(f(s,v)+\sum_{u\in S-\{s\}}f(u,v))-\sum_{v\in V}(f(v,s)+\sum_{u\in S-\{s\}}f(v,u))$
$=\sum_{v\in V}\sum_{u\in S}f(u,v)-\sum_{v\in V}\sum_{u\in S}f(v,u)$
将V分解为$S$和$T=V-S$
$|f|=\sum_{v\in S}\sum_{u\in S}f(u,v)+\sum_{v\in T}\sum_{u\in S}f(u,v)$
$-\sum_{v\in S}\sum_{u\in S}f(v,u)-\sum_{v\in T}\sum_{u\in S}f(v,u)$
$=\sum_{v\in T}\sum_{u\in S}f(u,v)-\sum_{v\in T}\sum_{u\in S}f(v,u)$
$=f(S,T)$
9的证明
$(1)\Rightarrow (2)$假设$f$是G的一个最大流，但是$G_{f}$中还有一条增广路径$p$,那么由5可得加上$p$之后可以得到一个严格大于$|f|$的流，这与$f$是最大流矛盾。
$(2)\Rightarrow (3)$定义$S=\{v\in V:在G_{f}中存在一条从s到v的路径\}$，$T=V-S$,首先$s\in S$。由于$G_{f}$中不存在增广路径，所以不存在s到t的路径，所以$t\notin S$。所以$(S,T)$是G的一个切割。现在考虑一对节点$u\in S,v\in T$如果$(u,v)\in E$，必有$f(u,v)=c(u,v)$,否则边$(u,v)$将把$v$置于集合$S$;如果$(v,u)\in E$，必有$f(v,u)=0$，否则$c_{f}(u,v)=f(v,u)>0$，这使边$(u,v)\in E_{f}$,从而使得$v\in S$，所以
$|f|=f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v,u)$
$=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}0$
$=c(S,T)$
$(3)\Rightarrow (1)$ 根据8，对所有的切割$(S,T)$,$|f|\leq c(S,T)$，所有若$|f|=c(S,T)$，那么$f$是一个最大流
