Lucas定理 [FINISHED]

(1) Lucas定理：p为素数，则有:

$C_{n}^{m}\equiv \prod_{i=0}^{k}C_{a_{i}}^{b_{i}}(mod\ p)$

其中$n=a_{k}p^{k}+a_{k-1}p^{k-1}+...+a_{0}$, $m=b_{k}p^{k}+b_{k-1}p^{k-1}+...+b_{0}$

(2) 这里不是相等, 而是对$p$同余. 比如$n=9, m=6, p=5$,那么$C_{9}^{6}=\frac{9*8*7}{3*2*1}=84$,而$n=(1,4)_{5},m=(1,1)_{5},C_{1}^{1}C_{4}^{1}=1*4=4$

(3) 证明： $n=(a_{k},a_{k-1},...,a_{1},a_{0})_{p} = (a_{k},a_{k-1},...,a_{1})_{p}*p + a_{0}=\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor p+a_{0},m=\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor p + b_{0}$

其次，对任意质数p有$(1+x)^p\equiv 1+x^p(mod\ p)$ 。

只要证明这个式子：$C_{n}^{m}\equiv C_{floor(n/p)}^{floor(m/p)}C_{a_{0}}^{b_{0}}(mod\ p)$，那么就可以用归纳法证明整个定理。

对于模p，我们有下面的式子成立：

$(1+x)^{n}=(1+x)^{p\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}(1+x)^{a_{0}}\equiv (1+x^{p})^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}(1+x)^{a_{0}}=\left ( \sum_{i=0}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor} C_{floor(n/p)}^{i}x^{pi}\right  )\left ( \sum_{j=0}^{a_{0}}C_{a_{0}}^{j}x^{j} \right )$

上式左右两边的$x$的项$x^{m}$的系数对模$p$同余。其中左边的$x^{m}$的系数是 $C_{n}^{m}$。 而由于$a_{0},b_{0}$都小于$p$，因此右边的$x^{m}$ 一定是由$ x^{\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor p}*x^{b_{0}},(i=\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor,j=b_{0})$ 

（4）拓展：上面的p是素数. 若不是素数，将p分解质因数，将$C_{n}^{m}$分别按照第一步中的方法求对$p$的质因数的模，然后用中国剩余定理合并。比如计算$C_{10}^{3}$模14。$C_{10}^{3}=120$,14有两个质因数2和7，120%2=0,120%7=1,这样用(2,0)(7,1)找到最小的正整数8即是答案，即$C_{10}^{3}$%14=8。注意，这里只适用于$p$分解完质因数后每个质因数只出现一次，例如12=2*2*3就不行，因为2出现了两次。若p分解完质因数后，含有某个质因数出现多次，比如C(10,3)%98,其中98=2*7*7,此时就要把7*7看做一个数,即:120%2=0,120%49=22,用(2,0)(49,22)和中国剩余定理得到答案22，即C(10,3)%98=22。下面介绍这一步的计算方法.

（5）计算C(n,m)%p^t。C(n,m)=n!/m!/(n-m)!，若我们可以计算出n!%p^t，我们就能计算出m!%p^t以及(n-m)!%p^t。我们不妨设x=n!%p^t,y=m!%p^t,z=(n-m)!%p^t,那么答案就是x*reverse(y,p^t)*reverse(z,p^t)(reverse(a,b)计算a对b的乘法逆元)。那么下面问题就转化成如何计算n!%p^t。比如p=3,t=2,n=19,

n!=1*2*3*4*5*6*7*8* ……*19

   =[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*(3*6*9*12*15*18)

   =[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*3^6(1*2*3*4*5*6)

然后发现后面的是(n/p)!，于是递归即可。前半部分是以p^t为周期的[1*2*4*5*7*8]=[10*11*13*14*16*17](mod 9)。下面是孤立的19，可以知道孤立出来的长度不超过 p^t,于是暴力即可。那么最后剩下的3^6啊这些数怎么办呢？只要计算出n!,m!,(n-m)!里含有多少个p(不妨设a,b,c)，那么a-b-c就是C(n,m)中p的个数，直接算一下就行。至此整个计算C(n,m)%p(p为任意数)的问题就解决了.

下面的评论中有人说$y=m!\%p^{t}$如果是$p^{r},r<t$时, 那么不存在对$p^t$的逆元.其实实际计算的时候, 会把$[1,m]$中$p$的倍数全部拿出来单独算, 也就是在计算$m!$的时候会去掉这些数字,剩下数字的乘积对$p^{t}$的模不会是$p^{r}$